Question

Дифференциальные уравнения решить .

Answer 1

$y' \sqrt{1 - {x}^{2} } + y = arcsinx \\ | \div \sqrt{1 - {x}^{2} } \\ y' + \frac{y}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } = \frac{arcsinx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ \\ y = uv \\ y '= u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u + \frac{uv}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } = \frac{arcsinx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ u'v + u(v' + \frac{v}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } ) = \frac{arcsinx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ \\ 1)v' + \frac{v}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - \frac{v}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ ln(v) = - arcsinx \\ v = {e}^{ - arcsinx} \\ \\ 2)u'v = \frac{arcinx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ \frac{du}{dx} e {}^{ - arcsinx} = \frac{arcsinx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ u = \int\limits {e}^{arcsinx} \times \frac{arcsinx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } dx \\ \\ \text{По частям:} \\ \\ U= arcsinx \: \: \: \: dU = \frac{dx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ dV = {e}^{arcinx} \frac{dx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \: \: V= \int\limits {e}^{arcsinx} d(arcsinx) = \\ = {e}^{arcsinx} \\ \\ {e}^{arsinx} arcsinx - \int\limits \frac{ {e}^{arsinx} }{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } dx = \\ = {e}^{arsinx} arcsinx - {e}^{arcsinx} + C \\ \\ \\ \\ u = {e}^{arcsinx}( arcsinx - 1) + C\\ \\ y = uv = \\ = {e}^{ - arcinx} \times ( {e}^{arcsinx}( arcsinx - 1)+ C) = \\ = arcsinx - 1 + C {e}^{ - arsinx}$

общее решение

$y(0) = 0$

$0 = 0 - 1 + C\\ C= 1$

$y = arcsinx - 1 + {e}^{ - arcsinx}$

частное решение