Question

Найти неопределенные интегралы.

Answer 1

$\int\limits \frac{ {x}^{5} + {x}^{2} - 2x + 3}{(x + 3)( {x}^{2} + 1)} dx = \int\limits \frac{ {x}^{5} + {x}^{2} - 2x + 3}{ {x}^{3} + 3 {x}^{2} + x + 3} dx \\$

числитель больше знаменателя, выделим целую часть:

$\int\limits( {x}^{2} - 3x + 8 - \frac{23 {x}^{2} + x + 21 }{(x + 3)( {x}^{2} + 1) } )dx = \\ = \int\limits( {x}^{2} - 3x + 8)dx - \int\limits \frac{23 {x}^{2} + x + 21 }{(x + 3)( {x}^{2} + 1)} dx \\ \\ 1) \int\limits( {x}^{2} - 3x + 8)dx = \frac{ {x}^{3} }{3} - \frac{3 {x}^{2} }{2} + 8x + c \\ \\ 2) \int\limits \frac{23 {x}^{2} + x + 21 }{(x + 3)( {x}^{2} + 1) } dx$

Разложим на простейшие дроби:

$\frac{23 {x}^{2} + x + 21}{(x + 3)( {x}^{2} + 1) } = \frac{A}{x + 3} + \frac{Bx + C}{ {x}^{2} + 1 } \\ 23 {x}^{2} + x + 21 = A {x}^{2} + A + (Bx + C)(x + 3) \\ 23 {x}^{2} + x + 21 = A {x}^{2} + A + B {x}^{2} + 3Bx + Cx + 3C \\ \\ 23 = A+ B \\ 1 = 3B + 3C \\ 21 = A + 3C \\ \\ A= \frac{45}{2} \\ B = \frac{1}{2} \\ C = - \frac{1}{2} \\ \\ \\ \frac{1}{2} ( \int\limits \frac{45dx}{x + 3} + \int\limits \frac{x - 1}{ {x}^{2} + 1} dx) = \\ = \frac{45}{2} \int\limits \frac{d(x + 3)}{x + 3} + \frac{1}{2} \int\limits \frac{xdx}{ {x}^{2} + 1} - \frac{1}{2} \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 1 } = \\ = \frac{45}{2} ln |x + 3| + \frac{1}{4} \int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} + 1 } - \frac{1}{2} arctgx \\ = \frac{45}{2} ln | x+ 3| + \frac{1}{4} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 1) }{ {x}^{2} + 1 } - \frac{1}{2} arctgx + C = \\ = \frac{45}{2} ln |x + 3| + \frac{1}{4} ln | {x}^{2} + 1 | - \frac{1}{2} actgx +C\\ \\ \text{Получаем} \\ \frac{ {x}^{3} }{3} - \frac{3 {x}^{2} }{2} + 8x - \frac{45}{2} ln |x + 3| - \frac{1}{4} ln | {x}^{2} + 1| + \frac{1}{2} arctgx + C$