Question

Исследуйте данные ниже последовательности на монотонность и ограниченность. ответы обоснуйте. $x_{n} = \frac{2n+3}{3n+2}$$x_{n} = \sqrt{n^{2}+2n } -n$$x_{n} = \frac{2^{n} }{n}$

Answer 1

Добрый день! Давай разберем каждую последовательность по очереди.

1. Последовательность x_n = (2n+3)/(3n+2):

Давай проверим монотонность этой последовательности. Для этого посмотрим на разность соседних членов:

x_{n+1} - x_n = (2(n+1)+3)/(3(n+1)+2) - (2n+3)/(3n+2) = (2n+5)/(3n+5) - (2n+3)/(3n+2)

Найдем общий знаменатель: (2n+5)(3n+2) - (2n+3)(3n+5) = 6n^2 + 4n + 15n + 10 - 6n^2 - 10n - 9n - 15 = -10n - 15

Теперь упростим разность:

x_{n+1} - x_n = (2n+5)/(3n+5) - (2n+3)/(3n+2) = -10n - 15 / (3n+5)(3n+2)

Поскольку знаменатель всегда положительный, оценим числитель:

-10n - 15 < 0 для всех n >= 0

То есть разность отрицательна для всех значения n, начиная с нуля, следовательно, последовательность убывающая.

Теперь давай проверим ограниченность. Для этого найдем предел:

lim(x_n) = lim((2n+3)/(3n+2)) = 2/3

Значит, предел существует (2/3) и конечный. Следовательно, последовательность ограничена.

2. Последовательность x_n = sqrt(n^2 + 2n) - n:

Проверим монотонность:

x_{n+1} - x_n = sqrt((n+1)^2 + 2(n+1)) - (n+1) - sqrt(n^2 + 2n) + n

Упростим это выражение:

x_{n+1} - x_n = [sqrt(n^2 + 2n + 1 + 2n + 2) - n - 1] - [sqrt(n^2 + 2n) - n]

= [sqrt(n^2 + 4n + 3) - (n + 1)] - [sqrt(n^2 + 2n) - n]

Найдем предел этого выражения при n стремящемся к бесконечности:

lim([sqrt(n^2 + 4n + 3) - (n + 1)] - [sqrt(n^2 + 2n) - n]) = sqrt(1) - 1 - sqrt(1) + 1 = 0

Так как предел равен нулю, то это означает, что разность x_{n+1} - x_n между соседними членами также стремится к нулю, значит, последовательность монотонная.

Теперь проверим ограниченность. Для этого возьмем предел:

lim(x_n) = lim(sqrt(n^2 + 2n) - n) = lim(sqrt(n^2 + 2n)) - lim(n) = infinity - infinity

Как видно здесь, предел не существует или неопределенный, значит, последовательность неограничена.

3. Последовательность x_n = 2^n / n:

Проверим монотонность:

x_{n+1} - x_n = 2^(n+1) / (n+1) - 2^n / n

Найдем общий знаменатель: (2^(n+1) * n - 2^n * (n+1)) / (n * (n+1))

Упростим это выражение:

x_{n+1} - x_n = (2^n * (2n - (n+1))) / (n * (n+1))

= (2^n * (n - 1)) / (n * (n+1))

= 2^n / (n+1) * (n-1) / n

Оценим числитель и знаменатель:

2^n / (n+1) > 0, так как 2^n всегда положительный

(n-1) / n > 0, так как разность двух положительных чисел всегда положительна

То есть x_{n+1} - x_n > 0 для всех n, значит, последовательность возрастающая.

Теперь проверим ограниченность. Для этого найдем предел:

lim(x_n) = lim(2^n / n) = infinity

Предел бесконечности означает, что последовательность неограничена.

Итак, ответы:
1. Последовательность (2n+3)/(3n+2) монотонно убывает и ограничена.
2. Последовательность sqrt(n^2 + 2n) - n монотонна, но неограничена.
3. Последовательность 2^n / n монотонно возрастает, но неограничена.