Question

Найдите полный дифференциал функции z = x2 + xy2 + xy + 3x – 5 в точке M(1; 0) при известных значениях приращений независимых переменных dx = 1, dy = –1

Answer 1

Добрый день! Я буду вашим учителем на сегодня и помогу вам решить задачу по нахождению полного дифференциала функции.

Для начала, давайте вспомним, что такое полный дифференциал функции. Полный дифференциал функции z от двух переменных x и y, обозначается dz, вычисляется по формуле:

dz = (∂z/∂x)*dx + (∂z/∂y)*dy

где (∂z/∂x) и (∂z/∂y) - это частные производные функции z по переменным x и y соответственно, а dx и dy - приращения независимых переменных x и y.

Теперь давайте находим частные производные функции z по переменным x и y. Для этого возьмем каждый член функции z и продифференцируем его по переменным x и y отдельно.

∂z/∂x = ∂/∂x (x^2 + xy^2 + xy + 3x - 5)
= 2x + y^2 + y + 3

∂z/∂y = ∂/∂y (x^2 + xy^2 + xy + 3x - 5)
= 2xy + x

Теперь, когда у нас есть частные производные, мы можем найти полный дифференциал функции в точке M(1; 0) с известными значениями приращений dx = 1 и dy = -1, используя формулу, которую я упоминал ранее:

dz = (∂z/∂x)*dx + (∂z/∂y)*dy

Подставим значения из формулы:

dz = (2x + y^2 + y + 3)*dx + (2xy + x)*dy

Теперь, чтобы получить численное значение полного дифференциала функции в точке M(1; 0), нам нужно подставить значения переменных x и y из точки M(1; 0), а также значения приращений dx = 1 и dy = -1:

dz = (2*1 + 0^2 + 0 + 3)*1 + (2*1*0 + 1)*(-1)
= (2 + 0 + 0 + 3)*1 + (0 + 1)*(-1)
= 5*(-1)
= -5

Таким образом, полный дифференциал функции z = x^2 + xy^2 + xy + 3x - 5 в точке M(1; 0) при известных значениях приращений dx = 1, dy = -1 равен -5.

Я надеюсь, что моё объяснение было понятным и я помог вам разобраться с задачей. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!