Question

Найди угол между векторами a=2m+4n и b=m-n, где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Первым шагом нам необходимо найти скалярное произведение векторов a и b. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин и косинуса угла между ними:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

где |a| и |b| - длины векторов a и b, а θ - угол между векторами a и b.

Поскольку m и n - единичные векторы, их длины равны 1. По условию задачи угол между m и n равен 120 градусам. Таким образом, мы можем записать векторы m и n следующим образом:

m = cos(120°)i + sin(120°)j
n = cos(0°)i + sin(0°)j

А так как cos(0°) = 1, sin(0°) = 0, cos(120°) = -0.5, и sin(120°) = √3/2, наши векторы m и n станут:

m = -0.5i + (√3/2)j
n = i

Подставляя значения векторов a и b, получаем:

a = 2m + 4n
= 2(-0.5i + (√3/2)j) + 4i - 4j
= -i + (2√3 + 4)j

b = m - n
= (-0.5i + (√3/2)j) - i
= -1.5i + (√3/2 - 1)j

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = √((-1)^2 + (2√3 + 4)^2) = √(1 + 4(3) + 16√3 + 16) = √(81 + 16√3)
|b| = √((-1.5)^2 + (√3/2 - 1)^2) = √(2.25 + 0.75 - √3 + 1 - √3 + 1) = √(5.5 + 2√3)

Теперь осталось найти косинус угла между векторами a и b, используя скалярное произведение:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

Мы знаем, что a · b равно произведению координатов векторов a и b:

a · b = (-1)(-1.5) + (2√3 + 4)(√3/2 - 1)

Теперь мы можем записать уравнение для косинуса угла между векторами:

(-1)(-1.5) + (2√3 + 4)(√3/2 - 1) = √(81 + 16√3) * √(5.5 + 2√3) * cos(θ)

После того, как мы найдем значение выражения в левой части уравнения, мы можем решить его относительно cos(θ):

cos(θ) = (значение выражения в левой части уравнения) / (√(81 + 16√3) * √(5.5 + 2√3))

Наконец, найдя значение cos(θ), мы можем найти угол θ, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

θ = arccos(cos(θ))

Я надеюсь, что это объяснение помогло вам понять, как решить данную задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.