Question

Найдите угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его вершины a(2; 1; 3) , b(5; 2; −1) , c(−3; 3; −3) .через векторы решается как то

Answer 1

Даны точки А(2;1;3) В(5;2;-1) С(-3;3;-3)

Сторонами параллелограмма будут АВ, ВС, СD, DA

Найдем диагональ АС:

$AC=(-3-2;3-1;-3-3)=(-5;2;6)$

Координаты точки D(x;y;z)

Надо найти диагональ BD

Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:
пусть точкой пересечения будет точка О, тогда координаты точки О (на диагонали АС:

$O( \frac{2-3}{2}; \frac{1+3}{2}; \frac{3-3}{2})=(- \frac{1}{2};2;0)$

с другой стороны координатами точки O  (на диагонали BD) будут:

$O( \frac{5+x}{2}; \frac{2+y}{2}; \frac{-1+z}{2})$

приравняем и найдем координаты точки D

$\frac{5+x}{2}=- \frac{1}{2} 5+x=-1 x=-6$

$\frac{2+y}{2}=2 y=2$

$\frac{-1+z}{2}=0 z=1$

таким образом D(-6;3;1)

теперь найдем BD

$BD(-6-5;2-2;1+1)=(-11;0;2)$

найдем длину |AC| и |BD|

$|AC|= \sqrt{25+4+36}= \sqrt{65}$

$|BD|= \sqrt{121+4}= \sqrt{125}$

найдем угол

$Cos \alpha = \frac{AC*BD}{|AC|*|BD|}$

$Cos \alpha = \frac{(-11*(-5)+0*2+2*(-6))}{ \sqrt{65}* \sqrt{125}}= \frac{55-12}{25 \sqrt{13} }= \frac{43}{25 \sqrt{13}}$