МатБюро Теория вероятностей Учебник по теории вероятностей Сложение и умножение вероятностей
Учебник по теории вероятностей
1.4. Сложение и умножение вероятностей
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как A⊂B.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A+B)=P(A)+P(B).
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
P(
n
∑
i=1 Ai)=
n
∑
i=1 P(Ai).
Если случайные события A1,A2,...,An образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A1)+P(A2)+...+P(An)=1. Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B).
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
P(A⋅B)=P(A)⋅P(B).
Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.
Примеры решений задач с событиями
Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
;
Главные герои «Зимней сказки» З.Топелиуса – брат и сестра. Родители назвали их Сильвестр и Сильвия. Вместе с родителями дети жили в простом доме, что стоял на опушке леса. Семья была не очень богатой, и дети родителям, как могли.
Однажды зимой они пошли в лес проверять силки. Дети увидели, что в одни силки попался заяц, а в другие – куропатка. Только они хотели взять пойманную добычу, как вдруг заяц стал просить отпустить его. К зайца присоединилась и куропатка. Брат и сестра удивились, что заяц и куропатка говорят человеческим языком. Они распутали силки и выпустили пленников на волю.
Убегая, заяц крикнул, что Подопринебо выполнит любую детей. А куропатка сказала, что Зацепитучу тоже ее освободителям. Дети не сразу поняли, о ком идет речь. Но вскоре они обратили внимание на две огромных сосны. Деревья говорили друг с другом, и дети отчего-то понимали их разговор. Сосны сетовали на то, что им уже много лет, и с каждым годом им все труднее бороться с ветром.
В это время мимо проходил отец Сильвестра и Сильвии. Увидев два огромных дерева, он хотел срубить их, но дети упросили его не делать этого. Отец любил своих детей, и он пошел искать другие деревья.
Тогда две сосны, которые и звали Подопринебо и Зацепитучу, заговорили с детьм. Они сказали, что брат с сестрой им жизни и за это они готовы выполнить любое их желание. Можно было просить, что угодно, но Сильвестр только попросил, чтобы выглянуло солнце, а Сильвия хотела, чтобы пораньше наступила весна.
Сосны удивились скромным пожеланиям детей, и они решили, что для Сильвестра всегда и везде будет светить солнце, а Сильвию всегда будет окружать весна. И действиетельно, когда дети пошли домой, всю дорогу им светило солнце, а на деревьях набухали почки и распускались листья. И даже дома до позднего вечера было светло, как в солнечный день, а старый веник покрылся молодыми листочками.
Мать Сильвестра и Силивии была обеспокоена тем, что детей кто-то заколдовал, но отец детей не воспринял ее слова всерьез. Он сказал, что скоро их края посетят король с королевой, и вся семья отправилась в город посмотреть на важных гостей. Король и королева въезжали в город в плохом настроении, потому что во время поездки по стране они видели только снег и холод. Но в этом городе их встретили лучи солнца и покрытые листьями ветви деревьев. Так было оттого, что в городе находились Сильвестр и Сильвия, которые принесли с собой солнце и весну.
Настроение у короля с королевой от увиденного настолько улучшилось, что они приказали построить в этих местах королевский дворец. А еще королеве понравились Сильвестр и Сильвия, и она предложила детям жить во дворце, обещая им богатые одежды и золото. Но дети отказались жить во дворце, им было хорошо в родном доме.
Солнце и весна, которые стали непременными спутниками Сильвестра и Сильвии, сделали места вокруг их дома изобильными и плодородными, и семья зажила счастливо.
Со временем Сильвестр стал королевским лесничим, а Сильвия – королевской садовницей, и ни у одного короля не было такого красивого сада.
Брат с сестрой не забывали своих друзей, Подопринебо и Зацепитучу, и навещали их. Но в один из дней обе сосны, которым было более трехсот лет, затрещали и повалились на землю. Время не пощадило их и вскоре упавшие стволы были надежно скрыты молодой порослью вереска. И, возможно, старые сосны подарили солнце и весну не только Сильвестру и Сильвии, а и всем остальным детям, ведь отчего-то при виде детей люди начинают улыбаться, и в их душе наступает весна.
Таково краткое содержание сказки.
Главная мысль «Зимней сказки» заключается в том, что дети украшают наш мир. Они дарят людям радость, улыбки и надежду на будущее счастье.
Сказка Топелиуса учит быть добрым и отзывчивым, беречь природу и дарить людям солнце и весну.
В «Зимней сказке» мне понравились главные герои, Сильвестр и Сильвия. Это скромные, доброжелательные дети, которым не чуждо чувство сострадания. Они зайца и куропатку, попавших в ловушку и отпустили их на волю. А еще они от вырубки две старые сосны, которые щедро отблагодарили своих подарив им солнце и весну.
Пошаговое объяснение:
45мин = 3/4ч
15мин = 1/4ч
85*2 = 170км проехал на машине
36*3/4 = 27км проехал на мотоцикле
6*1/4 = 1,5км пешком
170+27+1,5 = 198,5км весь путь лесничего
2 + 3/4 + 1/4 = 2+1=3ч лесничий был в пути
198,5 : 3 = 66 1/6км/ч средняя скорость лесничего на всем пути