Question

Найти уравнение касательной плоскости к поверхности

Answer 1

Пошаговое объяснение:

уравнение касательной плоскости в общем виде

$\displaystyle z - z_0 =\frac{\delta z}{\delta x} (x_0,y_0,z_0)(x - x_0) + \frac{\delta z}{\delta y} (x_0,y_0,z_0)(y - y_0)$

поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = - \frac{F'_x}{F'_z}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} = - \frac{F'_y}{F'_z}$

у нас будет

$\displaystyle F'_x=3x^2+yz \qquad F'_y=3y^2+xz \qquad F-_z=3z^2+xy$

теперь найдем коэффициенты нашего уравнения

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} _{(1;2;-1)}=-\frac{3x^2+yz}{3x^2+xy} _{(1;2;-1)}=-\frac{1}{5}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} _{(1;2;-1)}=-\frac{3y^2+xz}{3x^2+xy} _{(1;2;-1)}=-\frac{11}{5}$

и вот уравнение касательной плоскости

$\displaystyle z +1 = -\frac{1}{5} (x - 1) -\frac{11}{5} (y - 2)$

"причешем"  его: все в одну сторону, умножим на -5

(x-1) + 11(y-2)  + 5(z+1) = 0

ответ 3)