Question

Найти длину дуги кривой y = ln(sin(x)) в пределах от (pi/3..pi/2) Вольфрам дает ответ 0.54, не выходит его получить..

Answer 1

$\frac{1}{2} * ln3$ ≈ 0.54

Пошаговое объяснение:

$f(x) = ln(sinx)$

$f'(x) = \frac{1}{sinx} * cosx$

$L = \int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {\sqrt{1+(f')^2} } \, dx$

$= \int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {\sqrt{1+ctg^2x} } \, dx$

$= \int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {\sqrt{csc^2x} } \, dx$

$= \int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {cscx} \, dx$

$= ( \lim_{a \to \pi/2} {-ln|cscx + ctgx|}) - (-ln|\frac{2}{\sqrt{3} } + \frac{1}{\sqrt{3} } |)$

$= (-ln1) - (-ln\sqrt{3} ) = \frac{1}{2} ln3$