На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу А.
Для решения этой задачи мы можем использовать метод рекурсии. Рекурсия - это процесс, когда функция вызывает саму себя.
Чтобы решить задачу, нам нужно посчитать все возможные пути паука по лабиринту.
Шаг 1: Пометим каждое разветвление, по которому паук может пойти, буквой A, B, C, D и т.д. Пометим точку входа буквой V и точку выхода буквой A.
Шаг 2: Посмотрим на каждую ветку лабиринта и перечислим пути, которые паук может выбрать. В левой верхней части лабиринта есть только один путь, который ведет вниз, обозначим этот путь как A. В правой верхней части есть два пути - один вниз и один направо, обозначим эти пути как B и C соответственно. В нижней части лабиринта есть только один путь, который ведет вверх, обозначим его как D.
Шаг 3: Теперь мы можем представить лабиринт в виде дерева, где каждое разветвление представляет собой узел дерева, а пути - его ветви. Дерево имеет следующую структуру:
V
/ \
A D
/
B
/ \
A C
Шаг 4: Теперь мы можем начать рассматривать каждую ветвь дерева и рекурсивно переходить на следующую ветвь до тех пор, пока не дойдем до выхода A. Если в какой-то момент паук выберет путь, по которому уже полз, мы возвращаемся назад и рассматриваем следующую ветвь.
Шаг 5: Перейдем к решению. Мы будем использовать вероятность для описания шансов пука достичь выхода A. Так как паук выбирает каждый путь случайным образом, мы будем складывать вероятности для каждого пути.
Пусть P(A|B) - вероятность достичь выхода A при выборе пути B. Мы можем записать следующее уравнение:
P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|D) * P(D),
где P(A) - общая вероятность достичь выхода A.
Шаг 6: Рассмотрим каждый путь по отдельности:
- P(A|B) - вероятность достичь выхода A при выборе пути B. Если паук выбирает путь В, то он должен продолжать двигаться по траектории A, чтобы достичь выхода A. Таким образом, P(A|B) = P(A).
- P(A|D) - вероятность достичь выхода A при выборе пути D. Если паук выбирает путь D, то он должен сначала достичь вверха лабиринта и затем продолжить движение вниз по траектории А, чтобы достичь выхода А. Вероятность достичь выхода A на пути D равна P(A), но с учетом дополнительного шага вверх, поэтому P(A|D) = P(A) * P(D).
Шаг 7: Подставим значения в наше уравнение:
P(A) = P(A) * P(B) + P(A) * P(D).
Шаг 8: Факторизуем P(A):
P(A) = P(A) * (P(B) + P(D)).
Шаг 9: Избавимся от P(A):
1 = P(B) + P(D).
Шаг 10: Поскольку все возможные пути паука равновероятны, то P(B) = P(C) = P(D) = 1/3.
Чтобы решить задачу, нам нужно посчитать все возможные пути паука по лабиринту.
Шаг 1: Пометим каждое разветвление, по которому паук может пойти, буквой A, B, C, D и т.д. Пометим точку входа буквой V и точку выхода буквой A.
Шаг 2: Посмотрим на каждую ветку лабиринта и перечислим пути, которые паук может выбрать. В левой верхней части лабиринта есть только один путь, который ведет вниз, обозначим этот путь как A. В правой верхней части есть два пути - один вниз и один направо, обозначим эти пути как B и C соответственно. В нижней части лабиринта есть только один путь, который ведет вверх, обозначим его как D.
Шаг 3: Теперь мы можем представить лабиринт в виде дерева, где каждое разветвление представляет собой узел дерева, а пути - его ветви. Дерево имеет следующую структуру:
V
/ \
A D
/
B
/ \
A C
Шаг 4: Теперь мы можем начать рассматривать каждую ветвь дерева и рекурсивно переходить на следующую ветвь до тех пор, пока не дойдем до выхода A. Если в какой-то момент паук выберет путь, по которому уже полз, мы возвращаемся назад и рассматриваем следующую ветвь.
Шаг 5: Перейдем к решению. Мы будем использовать вероятность для описания шансов пука достичь выхода A. Так как паук выбирает каждый путь случайным образом, мы будем складывать вероятности для каждого пути.
Пусть P(A|B) - вероятность достичь выхода A при выборе пути B. Мы можем записать следующее уравнение:
P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|D) * P(D),
где P(A) - общая вероятность достичь выхода A.
Шаг 6: Рассмотрим каждый путь по отдельности:
- P(A|B) - вероятность достичь выхода A при выборе пути B. Если паук выбирает путь В, то он должен продолжать двигаться по траектории A, чтобы достичь выхода A. Таким образом, P(A|B) = P(A).
- P(A|D) - вероятность достичь выхода A при выборе пути D. Если паук выбирает путь D, то он должен сначала достичь вверха лабиринта и затем продолжить движение вниз по траектории А, чтобы достичь выхода А. Вероятность достичь выхода A на пути D равна P(A), но с учетом дополнительного шага вверх, поэтому P(A|D) = P(A) * P(D).
Шаг 7: Подставим значения в наше уравнение:
P(A) = P(A) * P(B) + P(A) * P(D).
Шаг 8: Факторизуем P(A):
P(A) = P(A) * (P(B) + P(D)).
Шаг 9: Избавимся от P(A):
1 = P(B) + P(D).
Шаг 10: Поскольку все возможные пути паука равновероятны, то P(B) = P(C) = P(D) = 1/3.
Шаг 11: Подставляем значения:
1 = 1/3 + 1/3 + P(D).
Шаг 12: Упрощаем выражение:
1 = 2/3 + P(D).
Шаг 13: Решаем выражение относительно P(D):
P(D) = 1 - 2/3.
Шаг 14: Вычисляем:
P(D) = 1/3.
Шаг 15: Теперь мы можем определить вероятност