Question

Найдите наибольшее двузначное число , равное неполному квадрату суммы его цифр.

Answer 1

Пусть искомое двузначное число равно 10а+b, а - ненулевая цифра десятков, b - цифра единиц
Тогда по условию должно выполнятся равенство
$10a+b=a^2+2ab+b^2$
Подставляя по очерди вместо а числа от 1 до 9, и решая соотвествующие квадратные уравнения относительно b, находим
$b^2+(2a-1)b+(a^2-10a)=0$
a=1
$b^2+b-9=0$
целых корней нет
a=2
$b^2+3b-16=0$
целых корней нет
a=3
$b^2+5b-21=0$
целых корней нет
a=4
$b^2+7b-24=0$
целых корней нет
a=5
$b^2+9b-25=0$
целых корней нет
a=6
$b^2+11b-24=0$
целых корней нет
a=7
$b^2+13b-21=0$
целых корней нет
a=8
$b^2+15b-16=0$
$(b+16)(b-1)=0$
$b_1=-16<0;b_2=1$
$b=1$
число 81
a=9
$b^2+17b-9=0$
целых корней нет
ответ: 81