1. Вася взял три различных натуральных числа а, b и с и выписал на бумажку семь чисел а, b, c, a+b, b+c, cla, a+btc. Какое наибольшее количество простых чисел может быть среди них? 2. Каждый житель острова людоедов принадлежит к одному из двух племён: рыцарей, которые всегда говорят правду, или лжецов, которые всегда лгут. Однажды 1000 островитян встали в круг, и каждый заявил: «Оба моих соседа не из моего племени», Какое наибольшее количество рыцарей могло стоять в кругу?
3. На столе лежат палочки длиной 10 см, 11 см, …, 100 см. Петя и Вася играют в игру. Они по очереди убирают со стола по одной палочке, пока не останутся 3 палочки. Если из них можно сложить треугольник, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася. Начинает Петя. Кто выиграет при правильной игре?
4. Маляр ходит по доске 7×7. Как только он попадает на клетку, он ее закрашивает. После этого он может переместиться на соседнюю по стороне клетку, если остальные соседние с ней по стороне клетки еще не закрашены. Может ли маляр закрасить 32 клетки?
5. Произведение четырех натуральных чисел заканчивается на 2012, а их сумма нечетна. Докажите, что одно из чисел делится на 4.
6. Число назовем хорошим, если оно 20-значное и любое другое 20- значное число с такой же суммой цифр больше него. Сколько существует хороших чисел?
7. На основании АВ по разные стороны от него построены равносторонний треугольник АВС и равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с вершиной прямого угла Р. Пусть М - середина AC, N - середина ВС. Отрезки ВМ и PN пересекаются в точке I. Докажите, что AI - биссектриса угла NAB.
8. На поле 8 × 8 для игры в морской бой стоит корабль 2 × 2. За какое наименьшее число выстрелов можно с уверенностью указать его го точное местоположение? («Топить» корабль не нужно.
84 = 2 * 2 * 3 * 7
НОД (48; 84) = 2 * 2 * 3 = 12
2)70 = 2 * 5 * 7
98 = 2 * 7 * 7
НОД (70; 98) = 2 * 7 = 14
3)35 = 5 * 7
60 = 2 * 2 * 3 * 5
НОД (35; 60) = 5
4)52 = 2 * 2 * 13
78 = 2 * 3 * 13
НОД (52; 78) = 2 * 13 = 26
5)44 = 2 * 2 *· 11
65 = 5 * 13
НОД (44; 65) = 1
6)72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
96 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3
НОД (72; 96) = 2 * 2 * 2 * 3 = 24
7)78 = 2 * 3 * 13
117 = 3 * 3 * 13
195 = 3 * 5 * 13
НОД (78; 117; 195) = 3 * 13 = 39
8)110 = 2 · 5 · 11
154 = 2 * 7 * 11
286 = 2 * 11 * 13
НОД (110; 154; 286) = 2 * 11 = 22
9)90 = 2 * 3 * 3 * 5
126 = 2 * 3 * 3 * 7
162 = 2 * 3 * 3 * 3 * 3
НОД (90; 126; 162) = 2 * 3 * 3 = 18
Подробнее - на -