Чтобы доказать, что выражение \(2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}\) делится на 17 для любого n, нам понадобится использовать метод математической индукции.
Шаг 1: Проверка базового случая
Для начала, давайте проверим, выполняется ли это утверждение для n=1. Подставим n=1 в данное выражение:
\(2^{5 \cdot 1+3} + 5^1 \cdot 3^{1+2} = 2^8 + 5 \cdot 3^3 = 256 + 5 \cdot 27 = 256 + 135 = 391\)
Мы видим, что данное выражение не делится на 17, так как 391 не кратно 17.
Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что для некоторого значения k данное выражение \(2^{5k+3} + 5^k \cdot 3^{k+2}\) делится на 17.
Шаг 3: Доказательство для k+1
Теперь давайте докажем, что это утверждение выполняется и для k+1. Подставим n=k+1 в данное выражение:
\(2^{5(k+1)+3} + 5^{k+1} \cdot 3^{(k+1)+2} = 2^{5k+8} + 5^{k+1} \cdot 3^{k+3}\)
Согласно предположению индукции, мы знаем, что \(2^{5k+3} + 5^k \cdot 3^{k+2}\) делится на 17. Представим это выражение в виде:
\(2^{5k+3} + 5^k \cdot 3^{k+2} = 17 \cdot m\) для некоторого целого числа m.
Тогда мы можем переписать наше выражение для n=k+1:
\(2^{5k+8} + 5^{k+1} \cdot 3^{k+3} = (2^{5k+3} \cdot 2^5) + 5 \cdot (5^k \cdot 3^{k+2}) \cdot 3\)
Теперь заметим, что \(2^5 = 32\), поэтому мы можем переписать:
\(= (32 \cdot 2^{5k+3}) + 5 \cdot (5^k \cdot 3^{k+2}) \cdot 3\)
Теперь мы можем использовать сделанное предположение и использовать его представление \(2^{5k+3} + 5^k \cdot 3^{k+2} = 17 \cdot m\):
\(= (32 \cdot 17 \cdot m) + 5 \cdot (17 \cdot m) \cdot 3\)
Дальше мы можем факторизовать 17 и 3:
\(= (32 \cdot 17 \cdot m) + 5 \cdot (3 \cdot 17 \cdot m)\)
Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель 17 в обоих слагаемых:
\(= 17 \cdot (32 \cdot m + 5 \cdot 3 \cdot m)\)
Таким образом, мы получили выражение, которое является произведением 17 и другого целого числа. Это означает, что \(2^{5(k+1)+3} + 5^{k+1} \cdot 3^{(k+1)+2}\) делится на 17.
Шаг 4: Заключение
Мы доказали, что если данное выражение делится на 17 для некоторого k, то оно будет делиться на 17 и для k+1. Поскольку базовый случай (n=1) не удовлетворяет условию, то выражение не делится на 17 для любого n.
Таким образом, мы можем дать окончательный ответ:
Для любого n, выражение \(2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}\) не делится на 17.
тут никак без остатка не делится
Пошаговое объяснение: