Question

Три различных натуральных числа а, b, c, имеют свойство, что a+b делится на с, b+c делится на а и а+с делится на b. Может ли получится что a+b+c=2021

Answer 1

нет

Пошаговое объяснение:

Если по условию, a+b делится на с (при условии, что a,b и с - натуральные), то при данном делении получится некоторое натуральное число!

Тогда перепишем условие в таком виде:

$\left\{\begin{matrix} \frac{a+b}{c}=x, \ x \in \mathbb{N} \\ \frac{b+c}{a}=y, \ y \in \mathbb{N} \\ \frac{a+c}{b}=z, \ z \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Если a+b+c=2021, то

a+b=2021-c

b+c=2021-a

a+c=2021-b

Подставим в систему и почленно поделим:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2021-c}{c}=x \\ \\ \frac{2021-a}{a}=y \\\\ \frac{2021-b}{b}=z \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2021}{c}-1=x \\ \\ \frac{2021}{a}-1=y \\\\ \frac{2021}{b}-1=z \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2021}{c}=x+1 \\ \\ \frac{2021}{a}=y+1 \\\\ \frac{2021}{b}=z+1 \end{matrix}\right$

Так как x, y и z натуральные, значит x+1, y+1 и z+1 тоже натуральные числа! То есть, в последней системе во всех трех уравнениях, правые части - это натуральные числа, значит и левые части - тоже натуральные числа!

Таким образом, если (2021/с), (2021/b), (2021/c) ∈ N, то числа а, b и с - это делители числа 2021

2021=1*43*47

Каждое из чисел a, b или с может принимать значения: 1; 43; 47; 2021.

Перебирая эти варианты, мы выясним, что в сумме 2021 никак не получится!