СЕН ЗЕРТТЕУШІСІҢ 10 Ойлан және жауап бер. Саябақта 4 тоған бар. Бір тоғаннан екіншісіне айналып жүрмей бірден қысқа жолмен бару үшін, олардың арасындағы жолдарға құм себу қа- жет. Қандай Жолдар жасау керектігін көрсет.
Тогда 1/X₁ и 1/X₂ - корни f(1/X) X₁ + X₂ + 1/X₁ + 1/X₂ = 0 (обознач. равенство 1) - по условию; X₁ и 1/X₁ - одного знака; X₂ и 1/X₂ - одного знака; ⇒ X₁ и X₂ - разных знаков, иначе не будет выполнено (1); Пусть X₁ > 0, не умаляя общности, т.к. иначе можно поменять X₁ и X₂ местами; Пусть X₁ ≥1, не умаляя общности, т.к. иначе можно заменить на 1/X₁; Пусть также X₂ ≤ -1, по тем же причинам; (1) ⇒ X₁ + 1/X₁ = -(X₂ + 1/X₂) (обознач. 2) X₁ + 1/X₁ строго возрастает при X₁ ≥ 1; -(X₂ + 1/X₂) строго убывает при X₂ ≤ -1; ⇒ X₁ + 1/X₁ = k имеет не более одного решения при X₁ ≥ 1; и X₂ + 1/X₂ = L имеет не более одного решения при X₂ ≤ -1; X₁ = -X₂ является решением (2) и единственным, как описано выше; Значит, X₁ + X₂ = 0.
2) Пусть X₁ = 0 или X₂ = 0, тогда у f(1/X) будет менее двух корней, а значит и у f(x) · f(1/X) будет менее 4 корней (а по условию их четыре).
1) В наихудшем случае придётся вынуть из пакета все 4 синих шара, после чего последующие 2 шара обязательно будут жёлтыми. ответ: 6 шаров. 2) Здесь ситуация аналогична, только в наихудшем случае придётся вытащить все 7 жёлтых шаров, после чего восьмой шар обязательно будет синим. ответ: 8 шаров. 3) Рассмотрим всевозможные варианты выбора шаров. Будем вынимать шары по одному и фиксировать получающуюся последовательность, останавливаясь при достижении условия "вынуты 2 шара одного цвета". Возможны следующие варианты: ЖЖ... (2 шара); СС... (2 шара); СЖС... (3 шара); ЖСЖ... (3 шара). Таким образом, в наихудшем случае придётся вынуть 3 шара, чтобы гарантировать наличие двух шаров одного цвета при любом исходе данного эксперимента. ответ: 3 шара.
1) Пусть X₁ ≠ 0, X₂ ≠ 0;
Тогда 1/X₁ и 1/X₂ - корни f(1/X)
X₁ + X₂ + 1/X₁ + 1/X₂ = 0 (обознач. равенство 1) - по условию;
X₁ и 1/X₁ - одного знака;
X₂ и 1/X₂ - одного знака;
⇒ X₁ и X₂ - разных знаков, иначе не будет выполнено (1);
Пусть X₁ > 0, не умаляя общности, т.к. иначе можно поменять X₁ и X₂ местами;
Пусть X₁ ≥1, не умаляя общности, т.к. иначе можно заменить на 1/X₁;
Пусть также X₂ ≤ -1, по тем же причинам;
(1) ⇒ X₁ + 1/X₁ = -(X₂ + 1/X₂) (обознач. 2)
X₁ + 1/X₁ строго возрастает при X₁ ≥ 1;
-(X₂ + 1/X₂) строго убывает при X₂ ≤ -1;
⇒ X₁ + 1/X₁ = k имеет не более одного решения при X₁ ≥ 1;
и X₂ + 1/X₂ = L имеет не более одного решения при X₂ ≤ -1;
X₁ = -X₂ является решением (2) и единственным, как описано выше;
Значит, X₁ + X₂ = 0.
2) Пусть X₁ = 0 или X₂ = 0, тогда у f(1/X) будет менее двух корней, а значит и у f(x) · f(1/X) будет менее 4 корней (а по условию их четыре).