Сравниваем запись в десятичной и двоичной системе.
1111₁₀ = 1*10³ + 1*10² + 1*10¹ + 1*10⁰ = 10000 + 1000 + 100 + 10 + 1
1111₂ = 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 2 + 1 = 15₁₀.
Видим, что для записи двузначного десятичного числа 15 понадобилось четыре разряда в двоичной системе.
Примеры записи чисел: 10₂ = 1*2¹+ 0*2⁰ = 2₁₀ и 100₂ = 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 4₁₀ и
101₂ = 1*2² + 1*2⁰ = 4 + 1 = 5₁₀ и 110₂ = 2² + 2¹ = 4 + 2 = 6₁₀ и 1110₂ = 2³+2²+2¹ = 8 + 4 + 2 = 14₁₀
На рисунке в приложении показана запись натуральных чисел от 0 до 31 в двоичной системе исчисления.
В чём же преимущество двоичной системы - в её простоте. В каждом разряде всего два значения - 0 и 1. Недостаток - большое число разрядов для записи числа. Но эту проблему легко решают современные процессоры. Каждый разряд в двоичной системе называется - бит. Число в 32 бит (это 32 единицы в записи) соответствует десятичному числу = 4 294 967 296 , а процессоры в 64 бит могут работать с числами до 1,8*10¹⁹ (19 нулей после запятой). Всего две цифры открывают безграничные возможности.
Под А) и Г) подходит правило: чтобы от периодической дроби перейти к обыкновенной, нужно в числитель поставить то число, которое в периоде, а в знаменатель столько девяток, сколько цифр в периоде.
А) 0,(51) = 51/99 = 17/33 - сократили на 3
Г) 0,(127) = 127/999 - несократимая дробь
Б) 1,2(47) = 1 + 0,2(47) = 1 целая 49/198
Пусть х = 0,2(47), тогда 10х = 2,(47), 1000х = 247,(47). Уравнение:
1000х - 10х = 247 - 2
990х = 245
х = 245/990
х = 49/198 - сократили на 5
В) 2,3(12) = 2 + 0,3(12) = 2 целых 103/330
Пусть х = 0,3(12), тогда 10х = 3,(12), 1000х = 312,(12). Уравнение:
1000х - 10х = 312 - 3
990х = 309
х = 309/990
х = 103/330 - сократили на 3