Question

Упрости (sin2x)/(20(cos^2x−sin^2x)) (в первое окошко введи дробь, во второе — тригонометрическую функцию; текст вводи без пробелов).

Answer 1

Давай разберемся с этим математическим выражением. Мы должны упростить дробь (sin2x)/(20(cos^2x−sin^2x)). Для этого воспользуемся знаниями о тригонометрических тождествах.

1. Начнем с разложения sin 2x:
sin 2x = 2sin x cos x.

2. Заменим sin 2x на 2sin x cos x в исходной дроби:
(2sin x cos x)/(20(cos^2x−sin^2x)).

3. Раскроем скобки в знаменателе:
(2sin x cos x)/(20(cos^2x − sin^2x)) = (2sin x cos x)/(20cos^2x − 20sin^2x).

4. Мы можем разложить числитель и знаменатель на множители:
(2sin x cos x)/(20cos^2x − 20sin^2x) = (2sin x cos x)/(20cos^2x − 20(1 − cos^2x)).

5. Упростим выражение в знаменателе:
(2sin x cos x)/(20cos^2x − 20(1 − cos^2x)) = (2sin x cos x)/(20cos^2x − 20 + 20cos^2x).

6. Приведем подобные слагаемые в знаменателе:
(2sin x cos x)/(20cos^2x − 20 + 20cos^2x) = (2sin x cos x)/(40cos^2x − 20).

7. Заменим cos^2x на (1 − sin^2x):
(2sin x cos x)/(40cos^2x − 20) = (2sin x cos x)/(40(1 − sin^2x) − 20).

8. Упростим числитель и знаменатель:
(2sin x cos x)/(40(1 − sin^2x) − 20) = (2sin x cos x)/(40 − 40sin^2x − 20).

9. Поделим числитель и знаменатель на 2 для упрощения:
(2sin x cos x)/(40 − 40sin^2x − 20) = sin x cos x/(20 − 20sin^2x − 10).

10. Распишем знаменатель:
sin x cos x/(20 − 20sin^2x − 10) = sin x cos x/(-20sin^2x + 10).

Таким образом, упрощенный вид исходной дроби будет sin x cos x/(-20sin^2x + 10).