y = x³ + 3x² - 8
найдём производную
y' = 3x² + 6x
Приравняем производную нулю
3x² + 6x = 0
3х(х + 2) = 0
х₁ = 0
х₂ = -2
Исследуем знаки производной y' = 3x² + 6x.
Поскольку график производной - квадратичная парабола веточками вверх, то знаки её будут такими:
при х∈(-∞; -2] y' > 0 и функция у возрастает
при х∈[-2; 0] y' < 0 и функция у убывает
при х∈(0; +∞] y' > 0 и функция у возрастает
В точке х₁ = 0 производная y' меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума.
уmin = y(0) = 0³ + 3·0² - 8 = -8
В точке х₂ = -2 производная y' меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума.
уmах = y(-2) = (-2)³ + 3·(-2)² - 8 = -8 + 12 - 8 = -4
Найдём катеты: а = с·cosα, b = c·sinα.
При вращении вокруг гипотенузы с получаются два конуса, радиус основания которых R = c·cosα·sinα
Высота конуса, образующей которого является катет а = с·cosα, равна
h₁ = a·cosα = с·cosα·cosα = c·cos²α
Высота конуса, образующей которого является катет b = c·sinα, равна
h₂ = a·sinα = с·sinα·sinα = c·sin²α
Объём 1-го конуса:
V₁ = 1/3 πR²·h₁ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α
Объём 2-го конуса:
V₂ = 1/3 πR²·h₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α
Объём всего тела вращения:
V = V₁ + V₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α + 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α
= 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·(cos²α + sin²α) = 1/3 ·π·c³·(cosα·sinα)² =
= 1/12 ·π·c³·(4cos²α·sin²α) = 1/12 ·π·c³·sin²2α