даны векторы а {-5, 1, 0} b{-1, 2, -4}, c{-3, 2, 1}. Найти:
1) длинны этих векторов;
2) скалярное произведение векторов и косинус угла между ними;
3) векторное произведение и площадь треугольника, построенного на этих векторах;
4) смешанное произведение и объем тетраэда, построенного на этих векторах.
|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2),
где a1, a2, и a3 - компоненты вектора а.
Для вектора а = {-5, 1, 0}, подставляем значения в формулу:
|a| = √((-5)^2 + 1^2 + 0^2) = √(25 + 1 + 0) = √26.
Таким же образом, вычисляем длины векторов b и c:
|b| = √((-1)^2 + 2^2 + (-4)^2) = √(1 + 4 + 16) = √21,
|c| = √((-3)^2 + 2^2 + 1^2) = √(9 + 4 + 1) = √14.
2) Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3,
где a1, a2, a3, b1, b2, и b3 - компоненты векторов а и b.
Подставляем значения в формулу:
a · b = (-5 * -1) + (1 * 2) + (0 * -4) = 5 + 2 + 0 = 7.
Косинус угла между векторами можно найти с помощью формулы:
cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),
где θ - угол между векторами.
Подставляем полученные значения:
cos(θ) = 7 / (√26 * √21).
3) Векторное произведение двух векторов a и b вычисляется по формуле:
a x b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1).
Подставляем значения и вычисляем:
a x b = (1 * (-4) - 0 * 2, 0 * (-1) - (-5) * (-4), (-5) * 2 - 1 * (-4))
= (-4, 20, -14).
Для вычисления площади треугольника, построенного на этих векторах, можно использовать формулу:
Площадь = |a x b| / 2.
Подставляем значения:
Площадь = |(-4, 20, -14)| / 2 = √((-4)^2 + 20^2 + (-14)^2) / 2 = √(16 + 400 + 196) / 2 = √612 / 2.
4) Смешанное произведение трех векторов a, b, и c вычисляется по формуле:
(a x b) · c = (a1 * b2 * c3 + a2 * b3 * c1 + a3 * b1 * c2) - (a3 * b2 * c1 + a2 * b1 * c3 + a1 * b3 * c2).
Подставляем значения и вычисляем:
(a x b) · c = (-4 * 2 * 1 + 20 * 1 * (-3) + (-14) * (-1) * 2) - ((-14) * 2 * (-3) + 20 * (-1) * 1 + (-4) * 1 * (-1)).
После выполнения всех вычислений, получим конечный результат.