В среднем вероятность невыплаты процентов по кредиту происходит в 15% случаев. Какова вероятность, что из шести заемщиков банка ровно трое выплатят проценты по кредиту в срок? Какова вероятность, что количество неплательщиков будет менее 2? Какова вероятность, что более половины заемных средств не вернуться в банк?
1. Вероятность, что из шести заемщиков банка ровно трое выплатят проценты по кредиту в срок, можно рассчитать с помощью биномиального распределения. Для этого воспользуемся формулой:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где P(X = k) - вероятность того, что именно k заемщиков выплатят проценты по кредиту в срок,
C(n, k) - число сочетаний из n по k,
p - вероятность выплатить проценты по кредиту в срок (в данном случае 0.15),
k - количество заемщиков, выплативших проценты по кредиту,
n - общее количество заемщиков.
В данном случае нужно найти вероятность, что из шести заемщиков банка ровно трое выплатят проценты по кредиту в срок, то есть P(X = 3), n = 6, p = 0.15 и k = 3.
P(X = 3) = C(6, 3) * 0.15^3 * (1-0.15)^(6-3)
= (6!)/(3!*(6-3)!) * 0.15^3 * 0.85^3
= (6*5*4)/(3*2*1) * 0.15^3 * 0.85^3
= 20 * 0.003375 * 0.614125
≈ 0.01227
Таким образом, вероятность того, что ровно трое заемщиков из шести выплатят проценты по кредиту в срок составляет примерно 0.01227, или около 1.23%.
2. Чтобы найти вероятность того, что количество неплательщиков будет менее 2, нужно сложить вероятности, что будет 0 неплательщиков и 1 неплательщик.
Вероятность, что будет 0 неплательщиков, равна P(X = 0), что можно рассчитать с помощью формулы биномиального распределения, где n = 6, p = 0.15 и k = 0:
P(X = 0) = C(6, 0) * 0.15^0 * (1-0.15)^(6-0)
= (6!)/(0!*(6-0)!) * 0.15^0 * 0.85^6
= 1 * 1 * 0.26786
≈ 0.26786
Вероятность, что будет 1 неплательщик, равна P(X = 1), что можно рассчитать с помощью формулы биномиального распределения, где n = 6, p = 0.15 и k = 1:
P(X = 1) = C(6, 1) * 0.15^1 * (1-0.15)^(6-1)
= (6!)/(1!*(6-1)!) * 0.15^1 * 0.85^5
= 6 * 0.15 * 0.4437053125
≈ 0.39834
Таким образом, вероятность того, что количество неплательщиков будет менее 2 составляет примерно 0.26786 + 0.39834 = 0.6662, или около 66.62%.
3. Чтобы найти вероятность того, что более половины заемных средств не вернутся в банк, нужно найти вероятность, что 4 или более заемщиков не выплатят проценты по кредиту.
Можно сначала рассчитать вероятность, что ровно 4 заемщика не выплатят проценты. Для этого воспользуемся аналогичной формуле биномиального распределения: P(X = 4), где n = 6, p = 0.15 и k = 4.
P(X = 4) = C(6, 4) * 0.15^4 * (1-0.15)^(6-4)
= (6!)/(4!*(6-4)!) * 0.15^4 * 0.85^2
= (6*5)/(2*1) * 0.15^4 * 0.85^2
≈ 0.032455
Затем рассчитаем вероятность, что ровно 5 заемщиков не выплатят проценты: P(X = 5), где n = 6, p = 0.15 и k = 5.
P(X = 5) = C(6, 5) * 0.15^5 * (1-0.15)^(6-5)
= (6!)/(5!*(6-5)!) * 0.15^5 * 0.85^1
= (6)/(1) * 0.15^5 * 0.85
≈ 0.0033645
Наконец, рассчитаем вероятность, что все 6 заемщиков не выплатят проценты: P(X = 6), где n = 6, p = 0.15 и k = 6.
P(X = 6) = C(6, 6) * 0.15^6 * (1-0.15)^(6-6)
= (6!)/(6!*(6-6)!) * 0.15^6 * 0.85^0
= 1 * 0.15^6 * 1
= 0.015625
Теперь нужно сложить вероятности, что 4 или более заемщиков не выплатят проценты:
P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
≈ 0.032455 + 0.0033645 + 0.015625
≈ 0.0514455
Таким образом, вероятность того, что более половины заемных средств не вернутся в банк, составляет примерно 0.0514455, или около 5.14%.
Надеюсь, что мой подробный ответ помог вам разобраться с вопросом. Если у вас еще остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!