2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. Докажем это:
;
≠ ± 1 при любых аргументах ;
≠ ± 1 ;
Найдём первую производную функции y(x) :
;
;
При x = 0, производная y'(x) – не определена, хотя сама функция определена при любых аргументах, так что функция непрерывна на всей числовой прямой, но непрерывно-дифференцируема за исключением ноля.
Убедимся в этом, вычислив предел около ноля слева и справа
;
;
3) Функция определена при любых x, поэтому точек разрыва нет.
Если приравнять функцию к нолю, получим:
;
;
Что возможно только при , т.е. при x = 0 ;
Итак, точка ( 0 ; 0 ) – принадлежит нашему графику.
4. Найдем асимптоты y(x).
Точек разрыва нет, значит, нет и вертикальных асимптот.
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± :
;
;
;
Поскольку, , то:
;
Значит, уходя на отрицательную бесконечность аргумента y(x) и сама стремиться к бесконечности, а уходя на положительную бесконечно по аргументу y(x) стремится к нулю ;
Из этого следует, что при x>0 есть горизонтальная асимптота y = 0 .
Чтобы найти наклонную асимптоту, найдем предел первой производной на отрицательной бесконечности по аргументу:
;
– по доказанному в пределе самой функции .
;
А это означает, что наклонной асимптоты на отрицательной бесконечности нет. А на положительной – горизонтальная.
![y = \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} }](/tpl/images/0479/2753/a5a92.png)
;
;![y(-x) = \sqrt[3]{ (-x)^2 } e^{ -\frac{-x}{3} } = \sqrt[3]{ x^2 } e^{ \frac{x}{3} }](/tpl/images/0479/2753/a8cb6.png)
;![y(-x)/y(x) = \frac{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ \frac{x}{3} } }{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ ( -\frac{x}{3} ) } } = \frac{ \exp{ \frac{x}{3} } }{ \exp{ -\frac{x}{3} } } = \exp{ \frac{x}{3} } \exp{ \frac{x}{3} } = \exp{ \frac{2x}{3} }](/tpl/images/0479/2753/2b8d3.png)
≠ ± 1 при любых аргументах ;
≠ ± 1 ;![y'(x) = ( \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } )' = ( x^\frac{2}{3} e^{ -\frac{x}{3} } )' = \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } e^{ -\frac{x}{3} } + x^\frac{2}{3} ( -\frac{1}{3} ) e^{ -\frac{x}{3} } =](/tpl/images/0479/2753/77b4d.png)
;![y'(x) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x )](/tpl/images/0479/2753/4a626.png)
;![\lim_{x \to -0} y(x) = \lim_{x \to -0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (-0)^2 } e^{ -\frac{-0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0](/tpl/images/0479/2753/9239a.png)
;![\lim_{x \to +0} y(x) = \lim_{x \to +0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (+0)^2 } e^{ -\frac{0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0](/tpl/images/0479/2753/7dd77.png)
;
;![\sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = 0](/tpl/images/0479/2753/3bc1a.png)
;![\sqrt[3]{x^2} = 0](/tpl/images/0479/2753/9246d.png)
, т.е. при x = 0 ;
:![\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } =](/tpl/images/0479/2753/2d670.png)
;
;![\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } =](/tpl/images/0479/2753/a7ec7.png)
;
, то:
;![\lim_{x \to -\infty} y'(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x )](/tpl/images/0479/2753/fc635.png)
;![\lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) = \lim_{x \to -\infty} ( -\frac{1}{3} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } ) = -\infty](/tpl/images/0479/2753/e2ca5.png)
– по доказанному в пределе самой функции .
;
1-640
2-25
3-708
4-950
5-42км30м
6-5
7-77
8-4ч9мин