Для решения данного уравнения нам нужно преобразовать его и найти значение у. Будем следовать пошаговому решению:
1. Начнем с уравнения: у^2 / (у-7) + у^(-12) / (у-7) = 0.
2. Общим знаменателем для дробей будет (у-7), поэтому умножим каждую дробь на (у-7), чтобы избавиться от знаменателя:
у^2 (у-7) / (у-7) + у^(-12) (у-7) / (у-7) = 0.
3. Появится две части уравнения, у нас есть два слагаемых. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю и объединим их в одну дробь:
у^2(у-7) + у^(-12)(у-7) / (у-7) = 0.
4. Упростим числитель дроби:
у^3 - 7у^2 + у^(-6) - 7у^(-5) = 0.
5. Приведем все слагаемые к общему знаменателю путем умножения на наименьшую общую степень значений у, в данном случае у^(-6):
у^3 у^(-6) - 7у^2 у^(-6) + у^(-6) у^(-6) - 7у^(-5) у^(-6) = 0.
6. Упростим числители:
у^(-3) - 7у^(-4) + 1 - 7у^(-11) = 0.
7. Обратим каждую дробь, чтобы убрать отрицательные показатели степени:
1/у^3 - 7/у^4 + 1 - 7/у^11 = 0.
8. Теперь мы имеем общее уравнение с положительными показателями степени. Умножим все слагаемые на у^11 для получения общего знаменателя:
у^11/у^3 - 7у^11/у^4 + у^11 - 7 = 0.
9. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю и объединим все параметры в одну дробь:
у^11 - 7у^8 + у^14 - 7у^11 = 0.
10. Упростим числитель:
у^14 - 7у^11 - 7у^8 = 0.
11. Факторизуем уравнение, разделив каждое слагаемое на наименьшую степень у:
у^8(у^6 - 7) - 7(у^8 - 1) = 0.
12. Факторизуем дальше с использованием разности квадратов:
у^8(у^3 + √7)(у^3 - √7) - 7(у^8 - 1) = 0.
13. Внимательно изучим оба множителя и заметим, что второе слагаемое у^8 - 1 является разностью кубов и может быть разложено следующим образом:
7(у^8 - 1) = 7(у^4 + 1)(у^2 + 1)(у + 1)(у - 1).
14. Теперь мы можем записать уравнение в следующей форме:
у^8(у^3 + √7)(у^3 - √7) - 7(у^4 + 1)(у^2 + 1)(у + 1)(у - 1) = 0.
15. Для того чтобы найти значения у, которые удовлетворяют уравнению, мы должны приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения для у:
у^8 = 0 или у^3 + √7 = 0 или у^3 - √7 = 0 или у^4 + 1 = 0 или у^2 + 1 = 0 или у + 1 = 0 или у - 1 = 0.
16. Найдем значения у:
у = 0 или у^3 = -√7 или у^3 = √7 или у^4 = -1 или у^2 = -1 или у = -1 или у = 1.
Вот и все возможные значения у, удовлетворяющие данному уравнению.
ответ: у = 4
Пошаговое объяснение: