Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2/2+1 и прямой проходящей через точки M1 (2, 0) и М2 (0, 2)

Answer 1

В этой задаче нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2/2+1 и прямой, проходящей через точки M1 (2, 0) и M2 (0, 2).

Для начала, построим график функции y=x^2/2+1 и прямую, проходящую через точки M1 (2, 0) и M2 (0, 2):

(сюда вставить график y=x^2/2+1 и прямую, проходящую через точки M1 (2, 0) и M2 (0, 2))

Затем, чтобы найти точки пересечения этих двух линий, приравняем их уравнения:

x^2/2+1 = mx+c,

где m - наклон прямой, c - смещение прямой.

Выразим x^2/2:

x^2 = 2(mx+c) - 2.

Подставим значение x^2 в уравнение функции:

2(mx+c) - 2 + 2 = mx^2 + 1.

Упростим:

2mx + 2c = mx^2 + 3.

mx^2 - 2mx - 2c + 3 = 0.

Уравнение квадратное, поэтому найдем его корни с помощью формулы:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a),

где a = m, b = -2m и c = -2c + 3.

Вычисляем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4m(-2c+3) = 4m^2 + 8mc - 12m.

Теперь подставляем значения a, b, и c в формулу для вычисления x:

x = (2m ± √(4m^2 + 8mc - 12m))/(2m).

Теперь, чтобы найти точки пересечения, приравняем x к 2:

(2m ± √(4m^2 + 8mc - 12m))/(2m) = 2.

Упростим уравнение:

2m ± √(4m^2 + 8mc - 12m) = 4m.

√(4m^2 + 8mc - 12m) = 2m.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

4m^2 + 8mc - 12m = 4m^2.

Упростим:

8mc - 12m = 0.

Разделим уравнение на 4m:

2c - 3 = 0.

2c = 3.

c = 3/2.

Теперь найдем значение m, подставив значение c в одно из уравнений:

2m = 2c - 2.

2m = 3 - 2.

m = 1/2.

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (2, 0) и (0, 2).

Для нахождения площади фигуры между двумя кривыми используем формулу интеграла:

S = ∫(a, b) (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - координаты точек пересечения двух кривых, f(x) - уравнение верхней кривой, g(x) - уравнение нижней кривой.

Мы уже нашли значения a и b, а также уравнения двух кривых. Подставим все значения и найдем площадь:

S = ∫(0, 2) ((x^2/2+1) - (x/2+1)) dx.

Сначала вычтем и упростим функции внутри интеграла:

S = ∫(0, 2) (x^2/2 - x/2) dx.

Теперь интегрируем:

S = [1/6x^3 - 1/4x^2] от 0 до 2.

Подставим 2 вместо x и вычислим:

S = (1/6(2^3) - 1/4(2^2)) - (1/6(0^3) - 1/4(0^2)).

S = (1/6(8) - 1/4(4)) - (1/6(0) - 1/4(0)).

S = (4/6 - 1) - (0 - 0).

S = (2/3 - 1) - 0.

S = -1/3.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2/2+1 и прямой, проходящей через точки M1 (2, 0) и M2 (0, 2), равна -1/3 единиц площади.