1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R при х ≠ 1.
2. Функция f (x) = (2x-1)/(x-1)^2 непрерывна на всей области определения.
Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х ≠ 1.
Область значений функции приведена в пункте 5.
3. Точки пересечения с осью координат Ох.
График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:
(2x-1)/(x+1)^2 =0.
Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.
Приравниваем нулю: 2х - 1 = 0. х = 0,5.
Значит, функция может принимать значения х = 0, так как точка, при которой знаменатель превращается в 0, это х = 1.
4. Точки пересечения с осью координат Оу.
График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.
В соответствии с пунктом 3 х = 0, точка пересечения графика с осью координат Оу: х = 0.
Результат: f(0) = -1. Точка: (0, -1).
5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y^'=-2x/(x-1)^3 =0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 2x=0.
Получаем 1 корень этого уравнения и это - точка, в которых возможен экстремум: х = 0 .Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 1 получаем 3 промежутка монотонности функции :
x ϵ (-∞; 0) U (0; 1) U (1; +∞).
На промежутках находим знаки производной.
Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -1 0 0,5 1 2
y' = -0,25 0 8 - -4
Минимум функции в точке х = 0.
Максимума функции нет.
Возрастает на промежутке: x ϵ (0; 1).
Убывает на промежутках: (-∞; 0) (1; +∞)..
Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 1.
Находим пределы при х→1_(-0) и х→1_(+0).
lim┬(x→1)〖(2x-1)/(x-1)^2 =∞〗.
Так как в точке х = 1 функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением х = 1, является вертикальной асимптотой графика.
Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.
6. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.
y^''=(2(2x+1))/(x-1)^4 =0.
Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2.
Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)).
7. Интервалы выпуклости, вогнутости:
Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции:
x ϵ (-∞; (-1/2)) U ((-1/2); 1) U (1; +∞).
Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
x = -1 -0,5 0,5 1 2
y'' = -0,125 0 64 - 10
Выпуклая на промежутке: (-∞; (-1/2)).
Вогнутая на промежутках: ((-1/2); -1) и (-1; ∞).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 1.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim┬(x→∞)〖2x/(x-1)^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
lim┬(x→-∞)〖2x/(x-1)^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k= lim┬(x→∞)〖(2x-1)/((x-1)^2 x)=(2x-1)/(x^3-2x^2+x)=(2x/x^3 -1/x^3 )/(x^3/x^3 -(2x^2)/x^3 +x/x^3 )=(0-0)/(1-0+0)=0.〗
Так как коэффициент к = 0, то наклонной асимптоты нет, она совпадает с осью Ох при x→∞.
9. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f-x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Таблица точек
x y
-4.0 -0.36
-3.5 -0.4
-3.0 -0.44
-2.5 -0.49
-2.0 -0.56
-1.5 -0.64
-1.0 -0.75
-0.5 -0.89
0 -1
0.5 0
1.0 -
1.5 8
2.0 3
2.5 1.78
3.0 1.25
3.5 0.96
4.0 0.78
4.5 0.65
5.0 0.56
5.5 0.49
6.0 0.44
Пошаговое объяснение:
Пошаговое объяснение:
1. Запишите дроби в виде процентов:
Чтобы, превратить десятичную дробь в проценты, надо дробь умножить на 100.
0,2 = 20%
0,8 = 80%
0,75 = 75%
2,3 = 230%
2. Перевести проценты в десятичную дробь:
Чтобы, превратить проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.
55% = 0,55
12,5% = 0,125
0,06% = 0,0006
3. В библиотеке 35000 книг. Из них 22% составляют художественные книги. Сколько художественных книг в библиотеке?
Чтобы найти проценты от заданного числа, сначала необходимо найти 1% от заданного числа. Для этого необходимо заданное число разделить на 100, а затем полученный результат умножить на количество процентов, которые необходимо найти.
35000 : 100 * 22 = 7700 книг
ответ: в библиотеке 7700 художественных книг.
4 .Построить угол АОВ равный 110 градусов. Построить биссектрису угла АОВ.
Записать градусную меру получившихся углов.
Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.
Проведем луч ОС, биссектрису ∠АОВ, получим ∠АОС и ∠СОВ.
110 : 2 = 55º.
∠АОС = ∠СОВ = 55º.
5. 40% учеников класса умеют кататься на лыжах, остальные на коньках. Начертите круговую диаграмму учеников, умеющих кататься на лыжах и на коньках.
Примем за 100% всех учеников, которые умеют кататься на коньках и лыжах.
Тогда ученики, которые умеют кататься на коньках равно: 100 – 40 = 60%.
Если принять 360º за 100%, тогда:
- ученики, которые умеют кататься на коньках равно 360 : 100 * 60 = 216º.
- ученики, которые умеют кататься на лыжах равно 360 : 100 * 40 = 144º.
Пошаговое объяснение:
вторая часть ровно 21
30-30%=21
30% от 30 =9