Question

Вычислите площади фигур, заданных указанными линиями. 1) x-y+3=0, x+y-1=0, y=0 2.) y=x^2+1, y=0, x=-1, x=2 пункт 1 в 13 и 15.

Answer 1

ответ Замятина - сначала думаем:

1. Фигура ограничивается двумя функциями по высоте - по оси ординат (ось ОУ) и двумя точками по ширине - по оси абсцисс (ОХ).

2. Площадь это интеграл разности функций в пределах интегрирования - по оси ОХ.

3. Пределы интегрирования или заданы или находятся как точки пересечения функций.

4. Важно знать какая функция на графиках выше, чтобы составить правильную разность.

5. Рисунок к задаче позволяет упростить процесс решения.

ДАНО: х-у+3=0,  х+у-1=0, у=0.

НАЙТИ: S=? - площадь фигуры.

РЕШЕНИЕ.

Даны уравнения прямых. Приведем их к каноническому виду.

1)  у1 = х+3 и у2 = -х + 1. у3 = 0.

Делаем рисунок  - рисунок в приложении. Видим, что фигура - это два прямоугольных треугольников и координата точки пересечения А(-1;2), а две других вершины в точках: В(-3;0) и С(1;0). Глаза видят, а руки пишут формулы: находим пределы интегрирования.

2) y1 = y3 =x+3= 0,  a = -3 - нижний предел интегрирования - начало.

3) y1 = y2,  x+3 = - x + 1,  2*x = - 2,  b = -1 -  общий предел.

4) y2 = y3,  -x+1 = 0, c = 1 - верхний предел интегрирования.

Переходим к интегрированию. Для удобства найдем площади треугольников отдельно.

5) $S_{1}=\int\limits^c_a {(Y_{1}-Y_{3})} \, dx=\int\limits^a_b {(x+3)} \, dx=\frac{x^2}{2}+3x$

6) Вычисляем - верхний предел  -  b = -1 , нижний - а = -3

S1(-1) =  1/2 -3 = - 2.5,  S1(-3) = 4.5 -9 = - 4.5,

S1 = -2.5 - (-4.5) = 2 - площадь левого (красного) треугольника.

Интегрируем разность функций на втором участке - от -1 до 1.

7) $S_{2}=\int\limits^a_b {(1-x)} \, dx=x-\frac{x^2}{2}$

Вычисляем интегралы на границах.

S2((-1) = 1.5,  S2(1) = -0.5,  

S2 = 1.5 - (-0.5) = 2.

И окончательно - сумма интегралов.

S = S1 + S2 = 2+2 = 4 (ед.²) - площадь - ответ.

Можно проверить - половина площади прямоугольника - 4*2 = 8.

Правильно.

2) ДАНО: Y1= x²+1,  Y2 = 0, b = - 1, a = 2.

Делаем рисунок - в приложении. Здесь фигура описана одной функцией. Сразу переходим к интегрированию.  Внимание! Предлагается писать функцию по возрастанию степени при Х.

1) $S=\int\limits^2_b {(1+x^2)} \, dx=x+\frac{x^3}{3}$

Вычисляем на границах интегрирования.

S(2) = 2 + 2 2/3 = 4 2/3 (4,667) , S(-1) = -1 - 1/3 = - 1 1 /3 (-1,333)

S = 4 2/3 - (- 1 1/3) = 6 (ед.²) - площадь - ответ.

ответ Замятина -  расчет проверен, а в записи могут быть и опечатки - я не виноват.