Question

Вычислить приближенное значение определённого интеграла

Answer 1

Метод Симпсона (метод парабол). Это более совершенный – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол.  

Метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Проведём разбиение отрезка    на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через   .

Запись   лишь обозначает, что количество отрезков чётно.

В данной задаче: десять:  .

Наше разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций:

Точки   называют узлами.

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:

, где:

 – длина каждого из маленьких отрезков или шаг;

 – значения подынтегральной функции в точках  .

Удобнее применить формулу Симпсона для каждого шага, а потом просуммировать результат.

Справа даны округлённые значения. Запятая – это разделитель, i это площадь участка по формуле Симпсона.

Для сравнения приводится значение этого интеграла по формуле трапеций.

x = -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8  

y = 0 2,645751 2,828427 3 4 5,91608 8,485281 11,53256 14,96663 18,73499 22,80351  

Трапеций 1,322875656 2,737089 2,914214 3,5 4,95804 7,200681 10,00892 13,2496 16,85081 20,76925 83,51148

x = -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8  

y = 2,150581 2,806243 2,850439 3,372684 4,860556 7,132671 9,956154 13,20511 16,81145 20,73343 22,80351  

f(x) = 1,874679 2,783192 2,871697 3,415123 4,89305 7,155341 9,973743 13,21994 16,82457 20,74537  83,75671

Симпсона            

Если по этой копии трудно разобраться, то во вложении приведен оригинал расчёта, распечатанный в Word.