Question

Найдите значение выражения: 5 + ctg82°30'

$\sqrt{3}-\sqrt{2} -\sqrt{6}-$

Answer 1

-7

Пошаговое объяснение:

Довольно интересное задание, которое заставило меня подумать)

Для начала разберемся с $ctg82^{а} 30^{д}$.

Известно, что в градусе, как и в часе 60 минут, поэтому это будет котангенс 82 градусов 30 минут, или котангенс 82,5 градусов: $ctg82,5^{а}$

Данный котангенс можно представить в виде тангенса:

$ctg82^{а}30^{'}=ctg(82,5)^{а}=ctg(90-7,5)^{а}=tg(7,5)^{а}$

Далее, мы помним формулу: $tg\alpha =\sqrt{\frac{1-cos(2\alpha )}{1+cos(2\alpha) } }$

Преобразуем наш тангенс:

$tg(7,5)^{а}=\sqrt{\frac{1-cos(15)^{а}}{1+cos(15)^{а} } }$ (1)

В свою очередь, косинус 15 градусов можно представить в виде:

$cos(15)^{а}=cos(45-30)^{а}$

А затем по формуле:

$cos(\alpha-\beta )^{а}=cos\alpha *cos\beta +sin\alpha *sin\beta$ преобразуем наш косинус.

$cos(45-30)^{а}=cos45^{а}*cos30^{а}+sin45^{а}*sin30^{а}$

А эти косинусы можно найти в таблице:

$cos45^{а}=\frac{\sqrt{2} }{2}$, $cos30^{а}=\frac{\sqrt{3} }{2}$, $sin45^{а}=\frac{\sqrt{2} }{2}$, $sin30^{а}=\frac{1}{2}$

Подставляем значения, получаем:

$cos(15)^{а}=\frac{\sqrt{3} }{2} *\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{1}{2} *\frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{\sqrt{6} }{4} +\frac{\sqrt{2} }{4} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{4}$

Затем, подставляя это значение в формулу (1) получим после некоторых преобразований:

$tg(7,5)^{а}=\sqrt{\frac{4-\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4+\sqrt{6}+\sqrt{2} } }$

Нам необходимо избавиться от корня. Домножим числитель и знаменатель на $4-\sqrt{6} -\sqrt{2}$

И запишем как: $4-(\sqrt{6} +\sqrt{2})$, что тоже самое, но в дальнейшем упростить.

В итоге это будет выглядеть так:

$tg(7,5)^{а} =\sqrt{\frac{4-\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4+\sqrt{6}+\sqrt{2}}*\frac{4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}) }{4-(\sqrt{6}+\sqrt{2})} }$

Числитель можно представить в виде:

$(4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))*(4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))$

Вспоминая формулу квадрата разности: $(a-b)^{2}=(a-b)*(a-b)$, имеем право числитель свернуть в квадрат разности.

$(4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))*(4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))=(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})^2$

Знаменатель имеет вид:

$(4+(\sqrt{6}+\sqrt{2}))*(4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))$

Это ничто иное как разность квадратов:

$(a-b)*(a+b)=a^2-b^2$

Значит:

$(4+(\sqrt{6}+\sqrt{2}))*(4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))=4^2-(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$

Теперь преобразуем $4^2-(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$:

$4^2-(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=16-(6-2*\sqrt{6} *\sqrt{2}+2)=16-6-2+2*\sqrt{6} *\sqrt{2}=\\=8-2*\sqrt{6} *\sqrt{2} =6-2*\sqrt{6} *\sqrt{2}+2=(\sqrt{6} -\sqrt{2} )^2$

Вернемся к выражению под корнем:

$tg(7,5)^{а}=\sqrt{\frac{4-\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4+\sqrt{6}+\sqrt{2}}*\frac{4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}) }{4-(\sqrt{6}+\sqrt{2})} }=\sqrt{\frac{(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} -\sqrt{2})^2 } } =\frac{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6} -\sqrt{2}}$ (2)

Теперь домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6} + \sqrt{2}$, числитель будет иметь вид:

$(4-\sqrt{6}-\sqrt{2} )*(\sqrt{6} +\sqrt{2} )=4\sqrt{6} +4\sqrt{2} -6-\sqrt{6} \sqrt{2} -\sqrt{6}\sqrt{2} -2=\\=4\sqrt{6} +4\sqrt{2} -2\sqrt{6} \sqrt{2} -8=4\sqrt{6} +4\sqrt{2} -2\sqrt{12} -8=\\=4\sqrt{6}+4\sqrt{2} -4\sqrt{3} -8=4*(\sqrt{6}+\sqrt{2} -\sqrt{3} -2)$

А знаменатель:

$(\sqrt{6}-\sqrt{2} )*(\sqrt{6} +\sqrt{2})=6+\sqrt{6} \sqrt{2} -\sqrt{6} \sqrt{2} -2=4$

Возвращаемся к формуле (2):

$tg(7,5)^{а}=\frac{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6} -\sqrt{2}} =\frac{4*(\sqrt{6}+\sqrt{2} -\sqrt{3} -2)}{4} =\sqrt{6}+\sqrt{2} -\sqrt{3} -2$

Подставляем это значение в исходное выражение:

$\sqrt{3} -\sqrt{2} -\sqrt{6} -5+\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2=-5-2=-7.$

Это и будет итоговый ответ.