Каноническим уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор , называется уравнение вида
. (1)
Направляющий вектор - это вектор, параллельный искомой прямой. При этом координаты направляющего вектора связаны отношением с общим уравнением как искомой прямой, так и любой другой прямой, параллельной направляющему вектору.
Элементарными преобразованиями (в основном приведением к общему знаменателю и затем умножением всех членов уравнения на общий знаменатель) каноническое уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой в общем виде.
Заметим, что в каноническом уравнении один один из знаменателей (то есть, одна из координат направляющего вектора) или может оказаться равным нулю (оба числа быть равными нулю не могут, ибо вектор ненулевой). Так как всякая пропорция означает равенство , то в данном случае каноническое уравнение прямой запишется в виде
. (2)
Пример 1. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Поскольку одна из координат направляющего вектора равна нулю, то по формуле (2) получаем:
.
Приводим уравнение к общему виду:
.
Пример 2. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. По формуле (2) получаем каноническое уравнение:
.
Приводим уравнение к общему виду:
.
Как видим, координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением отношением . Значит, задача решена корректно.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 3. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданной прямой . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Из общего уравнения заданной прямой получаем координаты направляющего вектора:
.
Тогда каноническое уравнение искомой прямой запишется в виде:
.
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .
Пример 4. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и равноудалённой от точек и . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Искомая прямая равноудалена от точек P и Q, следовательно, параллельна прямой, проходящей через эти точки. Поэтому сначала составим общее уравнение этой прямой, а из него получим координаты направляющего вектора искомой прямой:
Таким образом, направляющий вектор запишется так:
.
Каноническое уравнение искомой прямой:
.
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .
Пример 5. Даны вершины треугольника , и . Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC. Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Cначала составим общее уравнение стороны BC, а из него получим координаты направляющего вектора искомой прямой:
Таким образом, направляющий вектор запишется так:
.
Составляем каноническое уравнение искомой прямой:
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой. отношением .
К началу страницы
Пройти тест по теме Прямая и плоскость
Всё по теме "Прямая на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой на плоскости
Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
По условию характеристические многочлены матриц второго порядка А и В совпадают. Поскольку характеристический многочлен ищется по формуле
Если бы корни характеристического уравнения были бы разные, все матрицы с таким характеристическим уравнением были бы подобны, то есть были бы матрицами одного и того же оператора. Но по условию это не так. Вывод:
а матрицы второго порядка с таким условием бывают двух видов: - скалярная матрица (а поскольку по условию след равен 10, это скалярная матрица 5E, где E - единичная матрица), и те, которые подобны жордановой клетке с пятерками на диагонали. Поскольку определитель матрицы (как и ее след) не зависят от выбора базиса, делаем вывод, что определители матриц А и В равны 25.
ответ:
Замечание. Зачем было путать потенциальных "решателей" и писать в условии AA и BB вместо А и В? Не понимаю.
Замечание. Tr A - это обозначение для следа матрицы, то есть суммы элементов, стоящих на главной диагонали, det A - обозначение для определителя матрицы.