Question

Дифференциальные уравнения

$(x^{2} +1)y'=x-4xy\\y'+tgx*y=\frac{sin2x}{2}$

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1.

$( {x}^{2} + 1)y '= x - 4xy \\ ( {x}^{2} + 1) \frac{dy}{dx} = x(1 - 4y) \\ \int\limits \frac{dy}{1 - 4y} =\int\limits \frac{xdx}{ {x}^{2} + 1 } \\ - \frac{1}{4} \int\limits \frac{d(1 - 4y)}{1 - 4y} = \frac{1}{2}\int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} + 1 } \\ - \frac{1}{4} ln( |1 - 4y| ) = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 1)}{ {x}^{2} + 1} \\ - \frac{1}{4} ln( |1 - 4y| ) = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} + 1 | ) + ln(C) \\ ln( |1 - 4y| ) = - 2 ln( | {x}^{2} + 1 | ) + ln(C) \\ 1 - 4y = \frac{C}{ {( {x}^{2} + 1)}^{2} }$

общее решение

2.

$y' + tgx \times y = \frac{ \sin(2x) }{2} \\ \\ y = uv \\ y '= u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u + uvtgx = \frac{1}{2} \times 2 \sin(x) \cos(x) \\ u'v + u(v' + vtgx) = \sin(x) \cos(x) \\ \\ 1)v' + vtgx = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - v \times \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx \\ ln( |v| ) = \int\limits \frac{d( \cos(x)) }{ \cos(x) } \\ ln( |v| ) = ln( | \cos(x) | ) \\ v = \cos(x) \\ \\ 2)u'v= \sin(x) \cos(x) \\ \frac{du}{dx} \times \cos(x) = \sin(x) \cos(x) \\ u = \int\limits \sin(x) dx \\ u = - \cos(x) + C \\ \\ y = \cos(x) \times (C - \cos(x)) \\ y = - \cos {}^{2} (x) + C\cos(x)$

общее решение