Question

Найти общее решение дифференциального уравнения

Answer 1

$y ''+ 3y' - 4y = (10x + 7) {e}^{x}$

1 Решение ОЛДУ:

$y ''+ 3y '- 4y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} + 3k - 4 = 0 \\ D = 9 + 16 = 25 \\ k_1 = \frac{ - 3 + 5}{2} = 1 \\ k_2 = - 4 \\ \\ y = C_1 {e}^{x} + C_2 {e}^{ - 4x}$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми

$y = (ax + b)e {}^{x} \times x$

умножаем еще на х, так как совпадают коэффициенты в правой части НЛДУ и общем решении ОЛДУ.

$y = {e}^{x} (a {x}^{2} + bx)$

$y' = e {}^{x} (a {x}^{2} + bx) + (2ax + b)e {}^{x} = \\ = {e}^{x} (a {x}^{2} + 2ax + bx + b)$

$y'' = {e}^{x} (a {x}^{2} + 2ax + bx + b) + (2ax + 2a + b) {e}^{x} = \\ = {e}^{x} (a {x}^{2} + 4ax + bx + 2a + 2b)$

В НЛДУ:

${e}^{x} (a {x}^{2} + 4 ax + bx + 2a + 2b + 3ax {}^{2} + 6ax + 3bx + 3b - 4 {ax}^{2} - 4bx) = (10x + 7) {e}^{x} \\ {e}^{x}( 10ax + 2a + 5b) = (10x + 7) {e}^{x} \\ \\ 10a = 10 \\ 2a + 5b = 7 \\ \\ a = 1 \\ b = \frac{7 - 2a}{5} = 1 \\$

$y = {e}^{x} ( {x}^{2} + x)$

общее решение:

$y = C_1 {e}^{x} + C_2 {e}^{ - 4x} + { e }^{x} ( {x}^{2} + x) \\$