Question

ОЧЕНЬ
Найти частное решение ,удовлетворяющие заданному условию:

Answer 1

$y '- yctgx = 2x \sin(x) \\ \\ y = uv \\ y '= u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - uvctgx = 2 \sin(x) \\ u'v + u(v ' - vctgx ) = 2x\sin(x) \\ \\ 1)v' - vctgx = 0 \\ \frac{dv}{dx} = vctgx \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } dx \\ ln(v) = \int\limits \frac{d( \sin(x)) }{ \sin(x) } \\ ln(v) = ln( \sin(x) ) \\ v = \sin(x) \\ \\ 2)u'v = 2x \sin(x) \\ \frac{du}{dx} \times \sin(x) = 2x \sin(x) \\ u = \int\limits2xdx = {x}^{2} + C \\ \\ y = \sin(x) \times ( {x}^{2} + C) \\ y = C \sin(x) + {x}^{2} \sin(x)$

общее решение

$y( \frac{\pi}{2} ) = 0 \\$

$0 = \sin( \frac{\pi}{2} ) ( \frac{ {\pi}^{2} }{4} + C) \\ C= - \frac{\pi {}^{2} }{4}$

$y = {x}^{2} \sin(x) - \frac{ {\pi}^{2} }{4} \sin(x) \\$

частное решение

Answer 2

ответ: у(х)=(x²-π²/4)·Sinx

Пошаговое объяснение: решим сначала однородное уравнение:

y'-уctgx=0

dy/y=ctgx

∫dy/y=∫ctgx dx

lny=∫cosx dx/sinx

lny= ∫d(sinx)/sinx

lny= ln(sinx)+lnC

lny= ln(C·Sinx)

y=C·Sinx

Используем метод вариации произвольной постоянной :

пусть y(x)=C(x)·Sinх,  пиши ВК id92240104

тогда y'(x)=C'(x)·Sinх+C(x)·Cosх, подставим значения y(x), y'(x) в данное уравнение:

C'(x)·Sinх+C(x)·Cosх-C(x)·Sinх·Cosx/Sinх=2·x·Sinx

C'(x)·Sinх=2·x·Sinx  

C'(x)·Sinх-2·x·Sinx =0

Sinx·(C'(x)-2x)=0 ⇒   C'(x) = 2x ⇒C(x)= x²+C₁ ⇒

Так как у нас у=С(x)·Sinx=(x²+C₁)Sinx

Значит общее решение : у(х)=(x²+C₁)·Sinx  

удовлетворяет условию y(π/2)=0 ⇒

y(π/2)= (π²/4+C₁)·Sin(π/2)= (π²/4+C₁)·1= π²/4+C₁ ⇒ π²/4+C₁=0 ⇒  

C₁= - π²/4

Тогда частное решение имеет вид:  у(х)=(x²-π²/4)·Sinx