Пошаговое объяснение:
№3
Дано: ΔАВС, АА₁, ВВ₁ - биссектрисы. АА₁ ∩ ВВ₁ = М.
∠АМВ = 128°.
Найти: ∠МСВ₁.
Из ΔАМВ: ∠МАВ + ∠МВА = 180° - 128° = 52° (сумма углов треугольника 180°)
∠МАВ и ∠МВА половины углов ВАС и АВС. Значит,
∠ВАС + ∠АВС = 52° · 2 = 104°
Тогда, ∠АСВ = 180° - (∠ВАС + ∠АВС) = 180° - 104° = 76°.
М - точка пересечения биссектрис, значит, СМ - биссектриса угла АСВ.
Тогда ∠МСВ₁ = ∠АСВ/2 = 76°/2 = 38°
ответ: 38°
№4.
Дано: ΔMKN, MK = 17, MD = DN, D∈MN, CD⊥MN, C∈MK, CN = 10
Найти: СК.
CD - серединный перпендикуляр к MN. Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов. Значит, MC = CN = 10.
CK = MK - MC = 17 - 10 = 7
ответ: 7
№7
Дано: ΔMEN, EF и MK - медианы, EF ⊥ MK, EF ∩ MK = О.
EF = 18, MK = 15.
Найти: ON.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
OF = EF/3 = 18/3 = 6, OE = 2OF = 12
OK = MK/3 = 15/3 = 5, ON = 2OK = 10
ΔЕОК: ∠ЕОК = 90°, по теореме Пифагора
ЕК = √(ОК² + OE²) = √(144 + 25) = √169 = 13
cos∠OEK = OE/EK = 12/13
EN = 2EK = 26
ΔOEN по теореме косинусов:
ON² = OE² + EN² - 2OE·EN·cos∠OEN
ON² = 144 + 676 - 2 · 12 · 26 · 12/13 = 820 - 576 = 244
ON = 2√61
ответ: 2√61
№8
Дано: ΔАВС, О - точка пересечения серединных перпендикуляров к AC и ВС.
∠АОВ = 120°, АB = 20
Найти: ОС.
Т.к. О - точка пересечения серединных перпендикуляров, О - центр окружности, описанной около ΔАВС. Тогда ОА = ОВ = ОС как радиусы.
ΔАОВ:
пусть ОА = ОВ = х, тогда по теореме косинусов:
АВ² = OA² + OB² - 2OA·OB·cos120°
400 = x² + x² + 2x²·1/2
400 = 2x² + x²
3x² = 400
x² = 400/3
x = 20/√3 = 20√3/3
ответ: ОС = 20√3
75°
Пошаговое объяснение:
Задание
Найдите больший острый угол прямоугольного треугольника, если высота, проведенная к гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.
Решение
Теорема: около любого прямоугольного треугольника можно описать окружность, в которой гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром этой окружности, а медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, - её радиусом.
1) Обозначим исходный треугольник АВС (угол С - прямой, АВ - гипотенуза) и выполним вс построения:
- проведём из вершины прямого угла С медиану СМ к гипотенузе АВ;
- из того же угла С проведём высоту СН к гипотенузе АВ.
Так как около любого прямоугольного треугольника можно описать окружность, в котором гипотенуза является диаметром, то точка М является центром этой окружности, а медиана СМ и отрезки АМ и МВ гипотенузы АВ - её радиусами, равными половине диаметра, то есть половине гипотенузы АВ:
СМ = АМ = МВ = R = 1/2 АВ.
2) Согласно условию задачи, СН = 1/4 АВ, а это значит, что СН равен:
СН = 1/2 СМ, так как СМ = 1/ АВ.
Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике СМН (угол Н - прямой) катет СН равен половине гипотенузы СМ, то есть лежит против угла М, равного 30°.
Следовательно, в равнобедренном треугольнике СМВ (СМ=МВ=R):
∠С = ∠В = (180 - 30) : 2 = 75°.
3) Так как ∠В является также и углом треугольника АВС, то из этого следует, что он является большим острым углом и равен 75°.
ответ: 75°.