Question

Найдите все первообразные функциии f(x)=5x4-2x+1​

Answer 1

$x^5-x^2+x+C; C=const.$

Пошаговое объяснение:

Для того, чтобы найти все первообразные функции $f(x)$, требуется найти неопределенный интеграл от этой функции $f(x)$.

Нам дана функция: $f(x)=5x^4-2x+1$.

Формула нахождения неопределенного интеграла имеет вид:

$F(x)=\int\limits {f(x)} \, dx$

Подставим нашу функцию в формулу выше:

$F(x)=\int\limits {(5x^4-2x+1)} \, dx=\int\limits {(5x^4})dx-\int\limits {(2x)} \, dx+\int\limits {(1)} \, dx$

Теперь каждый найдем неопределенный интеграл по отдельности

$\int\limits {(5x^4})dx=5*\int\limits {(x^4})dx=5*\frac{x^{4+1} }{4+1}=5* \frac{x^{5} }{5}=x^5+C$

Данный интеграл находится используя свойство интегралов:

$\int\limits {a*f(x)} \, dx =a*\int\limits {f(x)} \, dx$

$\int\limits {(x^n)} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}; n\neq 1$

Далее найдем второй интеграл:

$\int\limits {(2x)} \, dx=2*\int\limits {(x)} \, dx=2*\frac{x^2}{2}=x^2+C$

Используем аналогичные свойства интегралов, что и выше.

И последний интеграл от 1:

$\int\limits {(1)} \, dx=x+C$, где C - константа интегрирования.

Все вместе будет иметь вид:

$F(x)=\int\limits {(5x^4-2x+1)} \, dx=\int\limits {(5x^4})dx-\int\limits {(2x)} \, dx+\int\limits {(1)} \, dx=x^5-x^2+x+C$ - это и будет ответ.