Площадь прямоугольника = 8•6=48, площадь
треугольника равна половине площади
прямоугольника те 48/2=24; периметр =
2.(длина+ширина)=2(8+6)=2.14=28
Дано: Y(x) = (x²+6*x-9)/(x+4)
Исследование:
Рисунок с графиком в приложении.
1. Область определения: D(y)= X≠ -4 , X∈(-∞;-4)∪(-4+∞); Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв при Х = -4. Вертикальных асимптота - Х = -4 - зелёная.
3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= -∞, Y(+∞)= +∞ - горизонтальной асимптоты - нет.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Решаем квадратное уравнение в числителе.
x² + 6*x - 9 = 0. D= 72, X1 = 1.24, X2 = - 7.24 - нули функции.
. 5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-7,24)∪(-4;1,24)
Положительна: Y>0 - X∈(-7,24;-∞)∪(1,24;+∞;)
6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.
Функция ни чётная: Y(-x) ≠ Y(x), ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x)
7. Поиск экстремумов по первой производной.
Корней нет. Экстремумов - нет.
8. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;-4)∪(-4+∞) - везде где существует.
9. Поиск перегибов по второй производной.
Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = -4.
10. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-4), выпуклая - "горка" X∈(-4;+∞);
11. Наклонная асимптота.
k = lim(+∞) Y(х)/x = (x²+6*x-9)/(x² - 4*x) = 1 - разделили и числитель и знаменатель на х².
b = lim(+∞) Y(x) - x = [x²+6x-9 - (x²- 4x)]/(x-4) = (10*x- 5)/(x-4) (??? = 2).
12. Область значений. E(y) = (-∞;+∞).
если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+p)2+q, где p и q — действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена.
покажем на примере как это преобразование делается.
выделим из трехчлена 2x2+12x+14 квадрат двучлена.
вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
2
x
2
+
12
x
+
14
=
2
(
x
2
+
6
x
+
7
)
преобразуем выражение в скобках.
для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 32. получим:
2
(
x
2
+
2
⋅
3
⋅
x
+
3
2
−
3
2
+
7
)
=
2
(
(
x
+
3
)
2
−
3
2
+
7
)
=
=
2
(
(
x
+
3
)
2
−
2
)
=
2
(
x
+
3
)
2
−
4
т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена, и показоли, что:
2
x
2
+
12
x
+
14
=
2
(
x
+
3
)
2
−
4
разложение на множители квадратного трехчлена
если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m — действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена.
покажем на примере как это преобразование делается.
разложим квадратный трехчлен 2x2+4x-6 на множители.
вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
2
x
2
+
4
x
−
6
=
2
(
x
2
+
2
x
−
3
)
преобразуем выражение в скобках.
для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. получим:
=
2
(
x
2
+
3
⋅
x
−
1
⋅
x
−
1
⋅
3
)
=
2
(
x
(
x
+
3
)
−
1
⋅
(
x
+
3
)
)
=
=
2
(
x
−
1
)
(
x
+
3
)
т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен, и показоли, что:
2
x
2
+
4
x
−
6
=
2
(
x
−
1
)
(
x
+
3
)
заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.
т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x2+4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x2+4x-6 =0 имеет корни. в процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x2+4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство
периметр прямоугольника 28 см
площадь треугольника 24 см2