Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о свойствах квадратов, перпендикулярах и треугольников.
1. Начнем с построения и обозначения наших точек. Нарисуем квадрат АВСD, где А и С - вершины квадрата заданные в условии. Пусть точка М - это точка пересечения диагоналей квадрата.
2. Теперь нам нужно восстановить перпендикуляр ОМ из точки М. Построим прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную одной из диагоналей квадрата. Обозначим точку пересечения прямой с одной из сторон квадрата (скажем, она пусть будет В').
3. Теперь у нас есть треугольник МВ'О. Мы знаем, что длина перпендикуляра ОМ равна 1 см. Также, по свойствам квадратов, диагонали квадрата равны и пересекаются в точке М, поэтому диагонали делат треугольник МВ'О на два равных прямоугольных треугольника МАВ' и МСВ'.
4. Рассмотрим треугольник МАВ' более подробно. Учитывая, что стороны квадрата АВСD равны 4 см, то стороны треугольника МАВ' будут равны 4 см, 4 см и 1 см (по свойствам равнобедренного треугольника).
5. Мы хотим найти расстояние от точки М до одной из вершин квадрата (например, до вершины А). Расстояние это можно измерить как длину отрезка МА'.
6. Мы можем найти длину этого отрезка, применив теорему Пифагора к треугольнику МАВ'. Согласно этой теореме, сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы (то есть самого большого из сторон треугольника). В нашем случае катеты имеют длину 4 см и 1 см (по условию), а гипотенузой является отрезок МА'.
Таким образом, получаем уравнение: 4^2 + 1^2 = (МА')^2.
