Question

Найдите экстремумы функции двух переменных

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Найдите частные производные функции по каждой переменной.
Для этого возьмем производные функции z по переменным x и y:



Шаг 2: Решите систему уравнений, приравняв обе частные производные к нулю.
То есть мы должны решить уравнения:



Шаг 3: Решите первое уравнение относительно переменной x.





Шаг 4: Подставьте найденное значение x во второе уравнение и решите его относительно y.






Итак, у нас есть два возможных значения y: y = 0 и y = -2.

Для y = 0:


Для y = -2:


Шаг 5: Найдите значения z для каждой комбинации значений x и y.
Подставим найденные значения x и y обратно в изначальную функцию z:
1) При x = 0 и y = 0:


2) При x = 1 и y = -2:


3) При x = -1 и y = -2:


Итак, мы получили три значения функции z: 0, 32 и 96. Таким образом, экстремумы функции z равны 0, 32 и 96.

Обоснование: Мы нашли значения x и y, при которых частные производные функции равны нулю. Затем мы подставили эти значения обратно в исходную функцию и получили три разных значения z. Это говорит о том, что у функции z имеется три экстремума в точках (0, 0), (1, -2) и (-1, -2).