Жила-была капелька. Жила она со своими родителями на белом облаке, и не было у капельки друзей. Она все время с грустью смотрела на землю и думала, что там наверняка нашлось бы для нее много друзей. Но родители запрещали капельке спускаться на землю. И вот как-то рано утром решила капелька отправиться на поиски друзей без разрешения родителей. Она оторвалась от облака и полетела вниз, в самую чащу леса. В лесу она встретила ежика, который нес на спине грибы и ягоды. - Давай я тебе сказала капелька ответил ежик. Они отнесли запасы ежика к нему домой. И капелька предложила ежику пойти погулять вместе. Так капелька нашла своего первого друга. Идут они по лесу и вдруг видят, как паук поймал бабочку в свою паутину и хочет ее съесть. И тут ежик начал трясти дерево, к ветвям которого была прикреплена паутина, а капелька подлетела к бабочке и стала тянуть ее за крылышки. Паук испугался и убежал, а бабочке удалось освободиться вам, друзья мои, - сказала бабочка. - Пойдем с нами гулять, предложила капелька. И они пошли гулять уже втроем. Так капелька нашла себе еще одного Друга. Когда они дошли до озера, ежик предложил пойти купаться, и нырнул в воду. Капелька нырнула за ним. В озере оказалось много-много таких же капелек как она. Они стали играть и веселиться все вместе, а бабочка сидела на листе кувшинки и смотрела на них, ей нельзя было купаться. Она же могла намочить свои крылышки, но ей все равно было весело. И вдруг капельку озарил яркий солнечный лучик, что-то невидимое подхватило ее и понесло ввысь, и она оказалась опять на облаке рядом со своими родителями. Они очень обрадовались, увидев капельку. А она сидела очень грустная, ведь на земле остались ее друзья. Но родители успокоили капельку, они сказали что таких путешествий в ее жизни будет еще очень много.
От 3 до 51 столько же нечётных чисел, сколько от 2 до 50 – чётных. От 2 до 50 – столько же чётных чисел, сколько всего чисел от 1 до 25. Значит от 3 до 51 – 25 нечётных чисел.
И нам нужно выбрать из них разные числа на 25 вершин 25-угольника. Стало быть, мы должны будем взять все нечётные числа от 3 до 51.
Числа 3—15—5—35—7—21—3 неизбежно образуют замкнутый контур, т.е. шестиугольник, вписанный в исходный 25-угольник.
Выберем произвольное число N, кроме перечисленных, и соответствующую ему точку. Допустим, эта точка N лежит в 25-угольнике между числами 3 и 15.
Проведём лучи N—3 и N—15 (красные). Ясно, что все точки и числа находящиеся НЕ между 3 и 15 окажутся внутри тупого угла между лучами N—3 и N—15. Так же ясно, что любой луч (зелёный), находящийся внутри красного угла, пересечёт отрезок 3–15.
Среди вершин, одна будет подписана числом 45, которое делится и на 3 и на 5.
Если число 45 лежит между вершинами 3 и 15, то тогда оно без проблем (без пересечений) может быть соединено с числом 3, но вот чтобы соединиться с числом 5 – нужно будет провести луч внутри красного угла, а он пересечёт отрезок 3—15 (зелёный луч).
Аналогично можно доказать, что если число 45 лежит между вершинами 5 и 15, то тогда оно без проблем может быть соединено с числом 5, но вот чтобы соединиться с числом 3 – нужно будет провести луч, который пересечёт отрезок 5—15.
Аналогично можно доказать, что если число 45 лежит между любыми другими вершинами, то оно пересечёт какой-то из отрезков шестиугольника 3—15—5—35—7—21—3. Что показано сиреневыми и жёлтыми лучами.
Таким образом: построение заданных отрезков для числа 45, не пересекающих другие, после того, как уже построены отрезки для чисел 3, 15, 5, 35, 7 и 21 – невозможно, т.е. пересечение неизбежно возникнет.
*** Важно понимать, что все проблемы среди предлагаемых чисел создаёт именно число 45, поскольку оно является своеобразным «дублёром» числа 15, ведь и в одном и в другом содержатся тройка и пятёрка в качестве простых множителей, а значит, к этим числам должны быть проведены диагонали и от 3 и от 5.
Если взять нечётные числа от 3 до 43 (всего 21 число), то их совершенно спокойно можно расположить на 21-угольнике по тем же принципам без пересечений. Что показано на втором чертеже.
И даже если взять все нечётные числа от 3 до 51 за исключением 45 (всего 24 числа), то их совершенно спокойно можно расположить на 24-угольнике по тем же принципам без пересечений. Что показано на третьем чертеже.
