Question

Есть равнобедренный треугольник с вписаной окружностью центр которой делит высоту проведенную к основанию на отрезки 5 см и 3 см. найти стороны.

Answer 1

Обозначим точки касания  окружности с боковыми сторонами как  K и L 
BH-высота , она же и медиана так как треугольник по условию равнобедренный , следовательно  AC=2AH
Так как  BK,BL касательные проведенные с одной вершины В то они равны !
По теореме о секущей $BK=\sqrt{BF*BH}=\sqrt{(5-3)*8}=4\\ BL=4$
так как OH радиус, то OK тоже радиус, в прямоугольном треугольнике  BKO, найдем угол    OBK, по теореме косинусов 
$3^2=4^2+5^2-2*4*5*cosKBO\\ cosKBO=\frac{4}{5}\\$
теперь обозначим AK=LC=x , так как они боковые стороны равны !  
то угол  $ABC=2 ABH$   , то 
$ABH=a\\ cosa=\frac{4}{5}\\ a=arccos\frac{4}{5}\\ cos(2arccos\frac{4}{5})=2cos^2(arccos\frac{4}{5})-1=\frac{32}{25}-1= \frac{7}{25}\\$

Теперь воспользуемся тем что AC=2AH
$AH=\sqrt{(4+x)^2+64-16(4+x)*\frac{4}{5}}\\ AC=\sqrt{2*(4+x)^2-2(4+x)^2*\frac{7}{25}}\\ 2*\sqrt{(4+x)^2+64-16(4+x)*\frac{4}{5}}= \sqrt{2*(4+x)^2-2(4+x)^2*\frac{7}{25}}\\ x=6$

Отудого AK=6, то  AH=6
и того   AC=12 ,  AB=BC=10