Question

Вокружность с радиусом а вписан квадрат, а в квадрат вписана окружность и так далее. найдите сумму площадей всех квадратов.

Answer 1

Это бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателе равны $q= \frac{1}{2}$ , потому что по формуле  пусть сторона квадрата  равна $t$ тогда выразим сторону квадрата через радиус 
$A=\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ t=\sqrt{2}A$
теперь следующий квадрат будет меньше , выразим сторону опять так же 
$r=\frac{\sqrt{2}A}{2}=R=\frac{\sqrt{2}t_{1}}{2}\\ t_{1}=A$
итд получим что они будут отличаться друг от друга на 0,5
тогда  по формуле, сумма квадратов равна 
 
$S=\frac{2A^2}{1-0.5 }=4A^2$