Question

решить дифференциальное уравнение

Answer 1

$y'' + 4y '+ 5y = 3 {e}^{ - 2x} + 5 \sin(x)$

1. ОЛДУ:

$y'' + 4y' + 5y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} + 4 k + 5 = 0 \\ D = 16 - 20 = - 4\\ k_1 = \frac{ - 4 + 2i}{2} = - 2 + i \\ k_2 = - 2 - i \\ \\ y = e {}^{ - 2x}( C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) )$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми

$у = ae {}^{ - 2x} + b \sin(x) + c \cos(x)$

$у' = - 2ae {}^{ - 2x} + b \cos(x) - c \sin(x) \\$

$у''= 4ae {}^{ - 2x} - b \sin(x) - c \cos(x)$

В НЛДУ:

$4ae {}^{ - 2x} - b\sin(x) - c \cos(x) - 8ae {}^{ - 2x} + 4b \cos(x) - 4c \sin(x) + \\ + 5ae {}^{ - 2x} + 5b \sin(x) + 5c \cos(x) = 3 {e}^{ - 2x} + 5 \sin(x) \\ \\ ae {}^{ - 2x} + (4b - 4c) \sin(x) + (4c + 4b) \cos(x) = 3 {e}^{ - 2x} + 5 \sin(x) \\ \\ a = 3 \\4 b - 4c = 5\\4 c + 4b = 0 \\ \\ a = 3 \\ b = \frac{1}{8} \\ c = - \frac{1}{8}$

Получаем

$у = 3 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \sin(x) - \frac{1}{8} \cos(x) \\$

Общее решение:

$y = {e}^{ - 2x} (C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) ) + 3 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \sin(x) - \frac{1}{8} \cos(x) \\$

$y(0) = - 1,y'(0) = 0$

$y '= - 2 {e}^{ - 2x} (C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) ) + {e}^{ - 2x}( C_1 \cos(x) - C_2 \sin(x) ) - \\ - 6 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \cos(x) + \frac{1}{8} \sin(x) = \\ \\ = {e}^{ - 2x} (( - 2C_1 - C_2) \sin(x) + ( - 2C_2 + C_1) \cos(x)) - 6 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \cos(x) + \frac{1}{8} \sin(x)$

$- 1 = C_2 + 3 - \frac{1}{8 } \\ 0 = C_1 - 2C_2 - 6 + \frac{1}{8} \\ \\ C_2 = - 4 + \frac{1}{8} = - \frac{31}{8} \\ C_1 = - \frac{15}{8}$

Частное решение

$y = {e}^{ - 2x} ( - \frac{15}{8} \sin(x) - \frac{31}{8} \cos(x) ) + 3 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \sin(x) - \frac{1}{8} \cos(x) \\$

$y = - {e}^{ - 2x} ( \frac{15}{8} \sin(x) + \frac{31}{8} \cos(x) ) + 3 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \sin(x) - \frac{1}{ 8} \cos(x) \\$