Question

Проинтегрировать дифференциальные уравнения первого порядка a) xlnx*y' - y = 0
b) y' – 3y = е^5х + 7

Answer 1

а) $y = c \ln x.\ \ \ (c \in \mathbb R)$

б) $y = \frac 12 e^{5x} + ce^{5x} - \frac 73.\ \ \ (c \in \mathbb R)$

Пошаговое объяснение:

а) Начнём с классификации ДУ. Это ДУ первого порядка, первой степени, линейное, обыкновенное.

$x\ln x y' - y = 0.$

В таком случае подойдёт замена $y = tx,\ y' = t'x + t.$ Введём её:

$x \ln x (t'x + t) - tx = 0;\\x (\ln x (t'x + t) - t) = 0;\ \ (x \ne 0)\\\ln x (t'x + t) - t = 0;\\\ln x\ t'x = t - t\ln x = t (1 - \ln x);\\1 - \ln x = \frac{\ln x\ t'x}t;\\\frac{1 - \ln x}{x \ln x} = \frac{t'}t;\\\frac{1 - \ln x}{x \ln x}\ \text{d}x = \frac{\text d t}t;$

Удалось разделить переменные. Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{1 - \ln x}{x \ln x}\ \text{d}x = \int \frac{\text{d}x}{x \ln x} - \int \frac{\ln x}{x \ln x}\ \text{d}x = \int \frac{\text{d}(\ln x)}{\ln x} - \int \frac{\text{d} x}{x} =\\= \ln | \ln x| - \ln |x| + c= \ln \left | \frac{c\ln x}{|x|} \right |;\ \ \ (c \in \mathbb{R})$

$\int \frac{\text d t}{t} = \ln |t| + c.\ \ \ (c \in \mathbb{R})$

Приравняем и упростим обе части уравнения:

$\ln |t| = \ln \left | \frac{c \ln x}{|x|} \right |;\\t = \frac{c \ln x}{|x|}.$

Обратная замена:

$\frac{y}{x} = \frac{c \ln x}{|x|};\\y = \frac{cx \ln x}{|x|}.$

Логарифм от $x$ существует только тогда, когда $x 0.$ Модуль $|x|$ для $x 0$ равен самому $x$, поэтому:

$y = \frac{cx \ln x}{x} = c \ln x.$

б) Начнём с классификации ДУ. Это ДУ первого порядка, первой степени, линейное, обыкновенное.

$y' - 3y = e^{5x} + 7.$

Введём переменную $u = e^{-3x}$ и домножим на неё обе части уравнения:

$uy' - 3e^{-3x}y = e^{5x - 3x} + 7e^{-3x};\\uy' - 3e^{-3x}y = e^{2x}+7e^{-3x}.$

Отметим, что $u' = -3e^{-3x}.$ Зная это, упростим:

$uy' + u'y = e^{2x} + 7e^{-3x};\\(uy)'=e^{2x} + 7e^{-3x}.$

Удалось разделить переменные. Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int (uy)'\ \text d y = uy + c \ \ \ (c \in \mathbb R)$

$\int e^{2x} + 7 e^{-3x}\ \text d x = \int e^{2x}\ \text d x + 7 \int e^{-3x}\ \text d x =\\= \frac 12 e^{2x} - \frac 73 e^{-3x} + c.\ \ \ (c \in \mathbb R)$

Обратим замену, приравняем выражения и упростим:

$e^{-3x} y = \frac 12 e^{2x} - \frac 73 e^{-3x} + c;\\y = \frac 12 e^{2x + 3x} - \frac 73 e^{-3x + 3x} + \frac{c}{e^{-3x}} =\\=\frac 12 e^{5x} + ce^{3x} - \frac 73.$