Игральную кость подбрасывают 4 раза. Составить закон распределения случайной величины Х - числа появлений тройки. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график , Желательно с объяснением для Р(0), Р(1) и тд, тк именно эта честь непонятна
Для начала разберемся с понятием закона распределения случайной величины. Закон распределения определяет вероятности различных значений случайной величины. В данной задаче случайная величина X - это количество появлений тройки при подбрасывании игральной кости 4 раза.
1. Закон распределения случайной величины X:
Для каждого подбрасывания игральной кости есть 6 возможных значений (от 1 до 6). Чтобы получить число появлений тройки, нужно посчитать количество троек среди 4 подбрасываний. Существует формула, которая называется биномиальным распределением, и она поможет нам составить закон распределения:
P(X = k) = C(4, k) * (1/6)^k * (5/6)^(4-k),
где C(4, k) - количество сочетаний из 4 элементов по k.
Теперь посчитаем значения закона распределения для каждого k:
P(X = 0) = C(4, 0) * (1/6)^0 * (5/6)^(4-0) = 1 * 1 * (5/6)^4 = 625/1296,
P(X = 1) = C(4, 1) * (1/6)^1 * (5/6)^(4-1) = 4 * 1/6 * (5/6)^3 = 500/1296,
P(X = 2) = C(4, 2) * (1/6)^2 * (5/6)^(4-2) = 6 * 1/36 * (5/6)^2 = 100/1296,
P(X = 3) = C(4, 3) * (1/6)^3 * (5/6)^(4-3) = 4 * 1/216 * (5/6)^1 = 20/1296,
P(X = 4) = C(4, 4) * (1/6)^4 * (5/6)^(4-4) = 1 * 1/1296 * (5/6)^0 = 1/1296.
2. Математическое ожидание случайной величины X:
Математическое ожидание случайной величины - это среднее значение, которое она принимает. Мы можем вычислить его, используя формулу:
E(X) = Σ(k * P(X = k)),
где Σ - означает сумму по всем значениям k.
Выполним вычисления:
E(X) = 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) + 3 * P(X = 3) + 4 * P(X = 4)
= 0 * (625/1296) + 1 * (500/1296) + 2 * (100/1296) + 3 * (20/1296) + 4 * (1/1296)
= 24/1296
= 1/54.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 1/54.
3. Дисперсия случайной величины X:
Дисперсия случайной величины - это мера разброса значений вокруг математического ожидания. Мы можем вычислить ее, используя формулу:
Var(X) = Σ((k - E(X))^2 * P(X = k)),
где Σ - означает сумму по всем значениям k.
Выполним вычисления:
Var(X) = (0 - 1/54)^2 * (625/1296) + (1 - 1/54)^2 * (500/1296) + (2 - 1/54)^2 * (100/1296)
+ (3 - 1/54)^2 * (20/1296) + (4 - 1/54)^2 * (1/1296)
= 20647/419904
≈ 0.049180
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна примерно 0.049180.
4. Функция распределения F(x):
Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее или равное заданному x. Для задачи определения функции распределения F(x) необходимо вычислить сумму вероятностей P(X = k) для всех значений k меньше или равных x.
Построение графика функции распределения F(x) позволяет наглядно увидеть, как вероятность изменяется при изменении значения x:
1.0 +------------------------------------+
| ---- ---- ---- |
| / \ / \ / \ |
| / \ / \ / \ |
| / \/ \/ \ |
|____/________/_________/__________\__|
0.0 1 2 3 4
На графике видно, что вероятность P(X = 0) составляет первую полосу (от 0 до 1), вероятность P(X = 1) составляет вторую полосу (от 1 до 5/3), величина P(X = 2) попадает в третью полосу (от 5/3 до 7/3), P(X = 3) - в четвертую полосу (от 7/3 до 2) и P(X = 4) - в пятую полосу (от 2 до 5).
Надеюсь, я дал достаточно подробное объяснение и решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы или что-то будет непонятно, не стесняйтесь, пишите!