Question

Высш.математика
int(2+sqrt(3x^2-x^4))/(sqrt(3-x^2))

Answer 1

Пошаговое объяснение:

   2+√(3x²-x⁴)  

∫ dx=

    √(3-x²)

     2                        x²(3-x²)  

=∫dx + ∫ √ dx=

 √(3-x²)                     (3-x²)

=2∫(1/√(3-x²))dx + ∫√x²dx=2∫(1/√(3-x²))dx + ∫IxIdx

' применяем формулы ∫(1/√(a²-x²))dx=arcsin(x/a)+c или -arcсos(x/a)+c

' ∫IxIdx=IxIx/2+c              

получится два ответа

1)  2∫(1/√(3-x²))dx + ∫IxIdx=2(arcsin(x/√3))+(IxIx/2)+c

2)  2∫(1/√(3-x²))dx + ∫IxIdx=-2(arcсos(x/√3))+(IxIx/2)+c

Answer 2

$\displaystyle \int \frac{2+\sqrt{3x^2-x^4}}{\sqrt{3-x^2}}\, dx=\int \frac{2\, dx}{\sqrt{3-x^2}}+\int \frac{\sqrt{x^2(3-x^2)}\, dx}{\sqrt{3-x^2}}=\\\\\\=\int \frac{2\, dx}{\sqrt{3-x^2}}+\int \frac{\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{3-x^2}\, dx}{\sqrt{3-x^2}}=\int \frac{2\, dx}{\sqrt{3-x^2}}+\int |x|\, dx=$

$=\displaystyle 2\cdot arcsin\frac{x}{\sqrt3}+\frac{x^2}{2}\cdot sign(x)+C=2\cdot arcsin\frac{x}{\sqrt3}+\frac{x}{2}\cdot \underbrace{x\cdot sign(x)}_{|x|}+C=\\\\\\=2\cdot arcsin\frac{x}{\sqrt3}+\frac{x}{2}\cdot |x|+C=2\cdot arcsin\frac{x}{\sqrt3}+\frac{x\cdot |x|}{2}+C$

 $\star \ \ sign(x) -$  сигнум (х), то есть знак (х) .