Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями(пример номер 1.6)​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$r=3cos(2\phi).$

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство :

$3*cos(2\phi)\geq 0\ |:3\\cos(2\phi)\geq 0\\-\frac{\pi }{2}+2\pi n\leq 2\phi\leq \frac{\pi }{2}+2\pi n \ |:2\\-\frac{\pi }{4} +\pi n\leq \phi\leq \frac{\pi }{4}+\pi n.\ \ \ \ \Rightarrow\\$

Таким образом, период функции r=3cos2φ=πn. Это значит, что фигура состоит из двух областей одинаковой площади.

Вычислим площадь одного участка, расположенного на интервале  

(-π/4;π/4) при n=0:

$S_1=\frac{1}{2}*\int\limits^{\frac{\pi }{4} }_{-\frac{\pi }{4}} {(3*cos^2(2\phi)} \, d\phi=\frac{9}{2} *\int\limits^{\frac{\pi }{4}} _{-\frac{\pi }{4}} {cos^2((2\phi)} \, d\phi =\frac{9}{4}*\int\limits^{\frac{\pi }{4}} _{-\frac{\pi }{4}} {cos^2((2\phi)} \, d(2\phi).\\ \int\limits {cos^2(2\phi)} \, d(2\phi)=\frac{sin(2\phi)*cos(2\phi)}{2} +\frac{1}{2}*\int\limit {cos^0(2\phi)} \, d(2\phi)=\frac{sin(4\phi)}{4} +\phi.\\$

$\pi \int\limits^{\frac{\pi }{4}} _{-\frac{\pi }{4} } {(cos^2(2\phi)} \, d(2\phi)=(\frac{sin(4\phi)}{4}+\phi)\ |_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4} } =\frac{sin(\pi)-(sin(-\pi)}{4} +\frac{\pi }{4}-(-\frac{\pi }{4})=\\= \frac{-1-(-1)}{4}+\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{-1+1}{4} +\frac{2\pi }{4}=0+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2} .\ \ \ \ \ \Rightarrow\\S=2*S_1=2*\frac{9}{4}*\frac{\pi }{2} =\frac{9\pi }{4}\approx7,0686.$