Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b), Осью Ox и прямыми x= a и x = b, вычисляется по формуле:
Аналогично, объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = φ(x) (c ≤ x ≤ d), Осью Ox и прямыми y= c и y = d, находится по формуле:
ПРИМЕР №1. Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.
y2 = 4x; y = 0; x = 4.
Пределы интегрирования a = 0, b = 4.
ПРИМЕР №2. y2 = 4x; y = x
Выполним построение фигуры. Решим систему:
y2 = 4x
y = x
найдем точки пересечения параболы и прямой: O(0;0), A(4;4).
Следовательно, пределы интегрирования a = 0; b = 4. Искомый объем представляет собой разность объема V1 параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x , и о объема V2 конуса, образованного вращением прямой y = x:
V = V1 – V2 = 32π – 64/3 π = 32/3 π
см. также как вычислить интеграл онлайн
ПРИМЕР №3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой .
Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим x1=0, x2=1.
Рис. 2. Объем тела вращения.
Объем тела может быть вычислен по формуле , где
, f2(x)=x.
.
ответ: .
см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями
16; 24: 30; 55
Пошаговое объяснение:
Обозначим наши части как : х₁ , х₂ , х₃ , х₄
По условию :
x₁ : x₂ = 2 : 3;
x₂ : x₃ = 4 : 5;
x₃ : x₄ = 6 : 11.
отношения между частями таковы, что последующий член одного отношения не равен предыдущему члену следующего отношения.
Приведем отношения к виду , когда последующий член одного отношения будет равен предыдущему члену следующего отношения .
Для этого рассмотрим вторую и третью пропорцию :
x₂ : x₃ = 4 : 5;
x₃ : x₄ = 6 : 11.
нас интересует х₃, во втором отношении это 5 частей , а в тертье 6 частей . НОК ( 6;5) = 30 , значит :
x₂ : x₃ = 4 : 5 | *6
x₃ : x₄ = 6 : 11 | *5
отсюда :
x₂ : x₃ = 24 : 30
x₃ : x₄ = 30 : 55
тогда отношение
x₂ : x₃ = 24 : 30
x₁ : x₂ = 2 : 3 домножим на 8
Получаем 3 новых отношения
x₁ : x₂ = 16 : 24
x₂ : x₃ = 24 : 30
x₃ : x₄ = 30 : 55
Как видим :
х₁= 16 ; х₂= 24; х₃= 30; х₄= 55
Значит надо разделить 125 в отношении 16 : 24 : 30 : 55
16+24+30+55= 125
Значит числа будут :
125/125 * 16=16
125/125 * 24=24
125/125 * 30= 30
125/125 * 55= 55
x=4
Пошаговое объяснение: