Пошаговое объяснение:
y'' +2y' = 3ex(cos(x)+sin(x))
Решение уравнения будем искать в виде y = erx с калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +2 r + 0 = 0
D = 22 - 4 • 1 • 0 = 4
Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = -2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 1, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 1 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = ex(Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y' = ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))
y'' = 2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 2y' = (2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))) + 2(ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
или
-4•A•ex•sin(x)+2•A•ex•cos(x)+2•B•ex•sin(x)+4•B•ex•cos(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-4A + 2B = 3
2A + 4B = 3
Решая ее методом обратной матрицы, находим:
A = -3/10;B = 9/10;
Частное решение имеет вид:
y* = ex(-3/10cos(x) + 9/10sin(x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
1) 0,5(3) = 8/15.
Пусть х = 0,5(3), тогда 10х = 5,(3), 100х = 53,(3). Уравнение:
100х - 10х = 53,(3) - 5,(3)
90х = 48
х = 48/90 = 8/15 - сократили на 6
2) 0,17(8) = 161/900.
Пусть х = 0,17(8), тогда 100х = 17,(8), 1000х = 178,(8). Уравнение:
1000х - 100х = 178,(8) - 17,(8)
900х = 161
х = 161/900 - несократимая дробь
3) 0,23(16) = 2293/9900.
Пусть х = 0,23(16), тогда 100х = 23,(16), 10000х = 2316,(16). Уравнение:
10000х - 100х = 2316 - 23
9900х = 2293
х = 2293/9900
4) 0,14(234) = 79/555.
Пусть х = 0,14(234), тогда 100х = 14,(234), 100000х = 14234,(234). Уравнение:
100000х - 100х = 14234,(234) - 14,(234)
99900х = 14220
х = 14220/99900 = 79/555 - сократили на 180
17 треугольников
Пошаговое объяснение:
16 маленьких и 1 большой