Question

1.Интеграл ∫sinxdx/1+cos^2x вычисляется заменой...
t=sinx
t=cosx
t=tgx
t=tg(x2)
(ВЫбрать правильный ответ и расписать)
2.Значение производной функции y=(x−1)^3 в точке x=3 равна...
3.В интеграле ∫x^2*e^x*dx метод интегрирования по частям необходимо применить .
Выберите один ответ:
данный интеграл не решается методом интегрирования по частям
3 раза
2 раза
1 раз

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1.

$\int\limits {\frac{sinx}{1+cos^2x} } \, dx.\\t=cosx \ \ \ \ dt=-sinxdx\ \ \ \ \Rightarrow\\\int\limits {\frac{sinx}{1+cos^2x} } \, dx.=-\int\limits {\frac{dt}{1+t^2} } =- arctg(t)+C=-arctg(cosx)+C.$

2.

$y=(x-1)^3\ \ \ \ x_0=3\ \ \ \ \ y'(3)=?\\y'(x_0)=3*(x-1)^2*(x-1)'=3*(x-1)^2.\\y'(3)=3*(3-1)^2=3*2^2=3*4=12.$

3.

$\int\limits {x^2e^x} \, dx.$

1) Интегрируем по частям:

$\int\limits {f} \, dg=fg-\int\limits {g} \, df\ \left | {{f=x^2\ \ \ \ dg=e^xdx} \atop {df=2xdx\ \ \ \ g=e^x}} \right. | =x^2e^x-\int\limits {2xe^2} \, dx=x^2e^x-2\int\limits {xe^x} \, dx .$

2) Интегрируем по частям:

$\int\limits {xe^x} \, dx=fg-\int\limits {g} \, df =\left | {{f=x\ \ \ \ dg=e^xdx} \atop {df=dx\ \ \ \ g=e^x}} \right. |=xe^x-\int\limits {e^x} \, dx=xe^x-e^x.\ \ \ \ \Rightarrow$

$\int\limits {x^2e^x} \, dx=x^2e^x-2*(xe^x-e^x)=x^2e^x-2xe^x+2e^x=e^x*(x^2-2x+2).$