Question

Решение мат. анализа! 1. Записать двойной интеграл в виде повторного, расставив пределы

интегрирования в том и другом порядке:

Найти частные производные второго порядка функции:

Исследовать на сходимость ряд c общим членом

Answer 1

1. Записать двойной интеграл в виде повторного, расставив пределы интегрирования в том и другом порядке:

$\displaystyle \iint\limits_D f(x, y)\,dxdy, ~ D = \{(x-2)^{2} + (y - 3)^{2} \leq 4 \}$

Решение. Изобразим область $D = \{(x-2)^{2} + (y - 3)^{2} \leq 4 \}$ (см. вложение 1).

Имеем:

$\text{I}. ~ (x-2)^{2} = 4 - (y - 3)^{2}$

$x-2 = \pm \sqrt{4 - (y - 3)^{2}}$

$x = 2 \pm \sqrt{4 - (y-3)^{2}}$ — полудуги окружности слева и справа.

Тогда повторный интеграл:

$\displaystyle \iint\limits_D f(x, y)\,dxdy = \int\limits_{1}^{5}dy \int\limits_{2 -\sqrt{4 - (y-3)^{2}}}^{2 + \sqrt{4 - (y-3)^{2}}}f(x,y)dx.$

Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения  до наибольшего значения по оси $Oy.$ Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движению в горизонтальном направлении от дуги $x = 2 - \sqrt{4 - (y-3)^{2}}$ до дуги $x = 2 + \sqrt{4 - (y-3)^{2}}$ (см. вложение 2).

$\text{II}. ~ (y-3)^{2} = 4 - (x - 2)^{2}$

$y-3 = \pm \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}$

$y = 3 \pm \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}$ — полудуги окружности сверху и снизу.

Тогда повторный интеграл:

$\displaystyle \iint\limits_D f(x, y)\,dxdy = \int\limits_{0}^{4}dx \int\limits_{3 - \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}}^{3 + \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}}f(x,y)dy.$

Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси $Ox.$ Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движения в вертикальном направлении от дуги $y = 3 - \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}$ до дуги $y = 3 + \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}$ (см. вложение 3).

2. Найти частные производные второго порядка функции:

$u = e^{2x\sqrt{y}}.$

Решение. Найдём частную производную первого порядка по $x,$ считая что $x$ — переменная, $y$ — постоянная:

$u'_{x} = \left(e^{2x\sqrt{y}}\right)'_{x} = e^{2x\sqrt{y}} \cdot (2x\sqrt{y})'_{x} = 2e^{2x\sqrt{y}}\sqrt{y}.$

Найдём частную производную первого порядка по $y,$ считая что $y$ — переменная, $x$ — постоянная:

$u'_{y} = \left(e^{2x\sqrt{y}}\right)'_{y} = e^{2x\sqrt{y}} \cdot (2x\sqrt{y})'_{y} = e^{2x\sqrt{y}} \cdot 2x \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y}} = \dfrac{xe^{2x\sqrt{y}}}{\sqrt{y}}.$

Найдём частную производную второго порядка по $x \colon$

$u''_{xx} = \left(2e^{2x\sqrt{y}}\sqrt{y} \right)'_{x} = 2\sqrt{y} \cdot \left(e^{x\sqrt{y}} \right)'_{x} = 2\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}e^{x\sqrt{y}} = 2ye^{x\sqrt{y}}.$

Найдём частную производную второго порядка по $y \colon$

$u''_{yy} = \left(\dfrac{xe^{2x\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} \right)'_{y} = \dfrac{(xe^{2x\sqrt{y}})'_{y} \cdot \sqrt{y} - xe^{2x\sqrt{y}} \cdot (\sqrt{y})'_{y}} {(\sqrt{y})^{2}} =$

$= \dfrac{xe^{2x\sqrt{y}} \cdot 2x \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \sqrt{y} - xe^{2x\sqrt{y}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y}} }{y} = \dfrac{2x^{2}\sqrt{y}e^{2x\sqrt{y}} - xe^{2x\sqrt{y}}}{2y\sqrt{y}}.$

Найдём частную производную функции $u'_{y}$ по $x \colon$

$u''_{xy} = u''_{yx} = \left(\dfrac{xe^{2x\sqrt{y}}}{\sqrt{y}}\right)'_{x} = \dfrac{1}{\sqrt{y}} \cdot (xe^{2x\sqrt{y}})'_{x} = \dfrac{1}{\sqrt{y}}((x)'_{x} \cdot e^{2x\sqrt{y}} + x \cdot (e^{2x\sqrt{y}})'_{x}) =$

$= \dfrac{1}{\sqrt{y}} (e^{2x\sqrt{y}} + 2x\sqrt{y}e^{2x\sqrt{y}}) = \dfrac{e^{2x\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} + 2xe^{2x\sqrt{y}}.$

3. Исследовать на сходимость ряд с общим членом $a_{n} \colon$

$a_{n} = \dfrac{(2n)!}{n!(n+1)! \cdot 3^{2n}} .$

Решение. Найдем $a_{n+1}\colon$

$a_{n+1} = \dfrac{(2(n+1))!}{(n+1)!(n+1 + 1)! \cdot 3^{2(n+1)}} = \dfrac{(2n+2)!}{(n+1)! (n+2)! \cdot 3^{2n + 2}}.$

Найдем предел:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)! (n+2)! \cdot 3^{2n + 2}}}{\dfrac{(2n)!}{n!(n+1)! \cdot 3^{2n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)! n! (n+1)! \cdot 3^{2n}}{(2n)! (n+1)! (n+2)! \cdot 3^{2n+2}} =$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)! (2n +1)(2n+2)n! \cdot 3^{2n}}{(2n)! n! (n+1) (n+2) \cdot 3^{2n} \cdot 3^{2}} = \lim_{n \to \infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{9(n+1)(n+2)} =$

$= \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{4n^{2} + 6n + 2}{9n^{2} + 27n + 18} = \left|\begin{array}{ccc}4n^{2} + 6n + 2 \sim 4n^{2} \\9n^{2} + 27n + 18 \sim 9n^{2}\\n \to \infty\end{array}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^{2}}{9n^{2}} = \frac{4}{9}< 1.$

Таким образом, по признаку Даламбера ряд с общим членом $a_{n} = \dfrac{(2n)!}{n!(n+1)! \cdot 3^{2n}}$ является сходящим.