Question

Определите вид треугольника, если А(0,7,-3), В(2,-3,2), С(0,3,10)

Answer 1

остроугольный, разносторонний

Пошаговое объяснение:

Запишем координаты векторов, выходящих из вершины A, отняв от координат конца соответствующие координаты начала:

$\vec{AB}=(2-0;-3-7;2+3)=(2;-10;5)\\\vec{AC}=(0-0;3-7;10+3)=(0;-4;13)$

Найдем их скалярное произведение как сумму произведений соответствующих координат:

$\vec{AB}*\vec{AC}=2*0+(-10)*(-4)+5*13=0+40+45=850$

∠A — острый

(если скалярное произведение векторов положительное, угол α между ними острый, равное нулю — прямой, отрицательное — тупой. Все из-за множителя cosα, знак которого зависит от величины угла)

Аналогично поступим с векторами, выходящими из вершины B:$\vec{BA}=-\vec{AB}=(-2;10;-5)\\\vec{BC}=(0-2;3+3;10-2)=(-2;6;8)\\\vec{BA}*\vec{BC}=-2*(-2)+10*6+(-5)*8=4+60-40=240$

∠B тоже острый

И все те же действия повторим для векторов, выходящих из вершины C:

$\vec{CA}=-\vec{AC}=(0;4;-13)\\\vec{CB}=-\vec{BC}=(2;-6;-8)\\\vec{CA}*\vec{CB}=0*2+4*(-6)+(-13)*(-8)=0-24+104=800$

∠C также острый

Получили, что ΔABC — остроугольный

Наконец найдем длины его сторон, которые совпадают с модулями уже выписанных векторов AB, BC и CA:

$|\vec{AB}|=\sqrt{2^2+(-10)^2+5^2}=\sqrt{4+100+25}=\sqrt{129}\\|\vec{BC}|=\sqrt{(-2)^2+6^2+8^2}=\sqrt{4+36+64}=\sqrt{104} \\|\vec{CA}|=\sqrt{0^2+4^2+(-13)^2}=\sqrt{0+16+169}=\sqrt{185}$

Сравнивая длины сторон, приходим к выводу, что ΔABC — разносторонний