Question

Найти остаток от деления числа 23^211 на 10

Answer 1

Остаток от деления числа на число 10 -это по сути, последняя цифра числа (в привычной нам всем десятичной системе).

Последняя цифра в степени числа зависит только от последней цифры самого числа (т.е. последней цифры основания степени, в нашем случае, от цифры 3).

И меняется последняя цифра в степенях по кругу, то есть повторяется через некоторое время:

$3^1=3$

$3^2=9$

$3^3=27$

$3^4=81$

$3^5=243$  -всё, тут опять 3 в конце числа. дальше будет 9 итд.

Цикл повторяется каждые 4 степени (длина цикла равна четырём).

Отсюда, можно вычислить, сколько циклов в нашей степени:

$$ \frac{211}{4}=52\frac{3}{4}$

Или так ещё можно записать:

211 / 4 = 52 целых, и 3 в остатке

Другими словами, у нас пройдёт 52 полных цикла смены окончания числа, и ещё три степени, считая с начала цикла.

Третья степень от начала цикла у нас оканчивается на цифру 7 (смотри степени, что написаны выше по порядку).

Значит и 211-ая степень числа 23 тоже будет оканчиваться на 7.

Кстати говоря, проверил и прямым вычислением- составил программку для расчёта, и это число действительно оканчивается на семёрку.

Вот оно, если интересно:

$$23^{211}=$

211141401380106029328947581641346519387242776724511619820068597807829684783357636905176727382454172555351669281670264750758642248093363901231209765516622460141828549953864225252607067606201086087260830395168275685325604968687767331838950720073218075362010450059025125786911892859276017927

(количество разрядов= 288)